《控制系统的稳定性及其分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《控制系统的稳定性及其分析.ppt（71页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第4章控制系统的稳定性及其分析,4.1 系统的稳定性,4.2 系统的稳定性判据,4.3 系统的稳定裕量,4.4 液压仿形刀架控制系统的 综合分析与计算,4.1 系统的稳定性,线性系统的稳定性是系统自身的固有特性，它和系统的输入信号 无关，仅取决于特征方程的根。系统稳定的充分和必要条件是闭环系统的特征方程的根均具有负 实部。系统的稳定性分为大范围内稳定和小范围内稳定。大范围内稳定是指如果系统受到扰动后，不论它的初始偏差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。小范围内稳定是指如果系统受到扰动后，只有当它的初始偏差小 于某一定值时，才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态。线性的稳定系统必须在大范围和小
2、范围内都稳定。而非线性系统或者是线性化后的非线性系统只是在小范围内稳定，而在大范围内却不稳定。,4.2 系统的稳定性判据,控制系统稳定的必要和充分条件是闭环传递函数的全部极点（即特征方程的根）均位于s平面左半部，即闭环系统特征方程的根均具有负实部，则系统稳定。,系统的稳定判据有解方程稳定判据，劳斯稳定判据，奈魁斯特稳定判据和对数幅相频率特性稳定判据等。,1解方程稳定判据（求解闭环传递函数特征方程法）,判断如图4.1所示单位负反馈系统是否稳定。,其系统闭环传递函数为,特征方程为,特征方程的根为,可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。,从控制系统稳定性的判断上为什么不只用解方程稳定判据，而
3、提出其它稳定性判据，其原因是求解三阶以上特征方程非常困难。,2劳斯稳定判据,劳斯稳定判据是利用闭环系统特征方程的系数来进行稳定性判断。该判据是从稳定的必要条件和充分条件两方面来判断。,（1）稳定的必要条件,闭环系统特征方程的各项系数均为正实数值。,（2）稳定的充分条件,劳斯阵列的第一列中所有项都具有正号。,如闭环系统的特征方程为,按特征方程列写劳斯行列表,式中各项可写成行列式,给定一闭环系统的特征方程为,求当k等于何值时系统才稳定。,首先进行必要条件的判断，即特征方程的各项系数均应大于零，即 k0，然后再进行充分条件的判断。,现列写特征方程的劳斯行列表为,k,-,6,2,1,1,根据劳斯阵列第
4、一列均应为正值，则,这样由不等式可知,当 时系统是稳定的。,如再给定一闭环系统的特征方程为s5-2s4+2s3+4s2-11s-10=0,判断系统是否稳定，如若不稳定有多少个极点在S平面的右半部。,首先进行必要条件的判断就没有满足，此系统不稳定。但是要知有多少个极点在S平面的右半部，列劳斯阵列表为,劳斯阵列第一列变换三次符号，即说明有三个极点在S平面右半部。第一列中的符号变换次数即为正实部根数。,由此可见劳斯稳定判据有三个功能：,可进行稳定性判断。,可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个极点在S平面右半部。,可求控制系统的增益，即放大系数K。,3奈魁斯特稳定判据（简称奈氏判据）,奈氏判据是
5、按开环传递函数的幅相频率特性（奈氏图或称极坐标图）来判断闭环系统是否稳定。,如何判断要根据系统开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。,（1）开环状态下是稳定的（即是开环传递函数特征方程在S平面右半部无极点，即m=0。一般习惯上把开环系统积分环节的零根作为左根处理），闭环状态下稳定的充分和必要条件是：开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线不包围S平面上的（-1，j o）点。,（2）开环状态下是不稳定的（其开环传递函数的特征方程在S平面右半部有m个极点）闭环状态下稳定的充分和必要条件是：当从-到+时，开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线逆时针方向包围（-1，j o）点m周。如果 从0到 时，开环幅相频
6、率特性曲线应逆时针方向包围（-1，j o）点应为 周。,图4.2(a)和(b)分别是在开环下稳定和不稳定的状态下，而 取值为0到，判断其系统是否稳定，经判断两系统均稳定。,4对数幅相频率特性稳定判据,该判据是按开环传递函数的对数幅相频率特性（波德图）来判断闭环系统是否稳定。,如何进行判断也要根据开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。,（1）开环状态下是稳定的（开环传递函数的特征方程在S平面右半部无极点，即m=0），则闭环状态下稳定的必要和充分条件是：在对数幅频特性的所有频率范围内，相频特性曲线 在 线上的正负穿越次数之差为零。(由 线下方向上穿越为正穿越，由 线上方向下穿越为负穿越)。,某一系统
7、的波德图如图4.3所示，该系统m=0，从图中可见正负穿越各一次，则系统稳定。,（2）开环状态下不稳定（其开环传递函数特征方程有m个根在S平面的右半部），则闭环状态下稳定的必要和充分条件是：在所有 的所有频率范围内，相频特性曲线 在 线上的正负穿越次数之差为。,两系统的波德图如图4.4的（a）和(b)所示。当m=2时，判断系统是否稳定。图（a）正负穿越次数之差为-1，所以系统不稳定。图（b）正负穿越次数之差为+1，所以系统稳定。,4.3 系统的稳定裕量,设置系统稳定裕量的原因有五个方面：,系统数学模型的简化，造成与实际系统有一定的误差。,非线性系统的线性化。,系统有关元件参数近似获得或实验获得，
8、会存在一定误差。,系统工作时元器件性能及参数有可能发生变化。,难以预料的外部干扰。,稳定裕量是用来衡量一个稳定的系统距离不稳定的程度。不同的稳定判断，对稳定裕量的表述也不一样。,1奈氏稳定判据的稳定裕量,根据奈氏稳定判据，对于开环稳定的系统（m=0），闭环系统稳定充分和必要条件是幅相频率特性（奈氏图）不包围（-1,j o）点。稳定裕量则是衡量幅相频率特性曲线距离（-1,j o）点的远近程度，距离越远稳定裕量越大。,图4.5表示了稳定及稳定裕量等有关参数的相关关系。,衡量系统稳定程度即稳定裕量有两个指标：,（1）幅值裕量（也称增益裕量或幅值储备），可用 来表示。它等于开环相角 时开环幅值的倒数，
9、即。应该说是在相位交界频率 下，值越大幅值裕量越小。从图4.5中可以看到，离原点越近，也就是离 点越远幅值裕量就越大。,（2）相位裕量（也称相角裕量或相位储备），可用 表示。它是指开环频率特性的幅值 时，它的相角 与1800之间的差值，即。或者说，相位裕量 是向量 与负实轴的夹角。是开环频率特性的幅值等于1时的频率，即增益交界频率（剪切频率）。若 角越小，则相位裕量越大。,2对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量,根据对数幅相频率特性稳定判据，对于开环稳定的系统（m=0），闭环稳定充分和必要条件是：在对数幅频特性 的所有频率范围内,相频特性曲线 在-线上的正负穿越次数之差为零。如若在此条件下无穿越
10、，如图4.6所示，则系统也为稳定。,若根据对数幅相频率特性判断其系统的稳定裕量。,定义 为负值时（），增益裕量为正。当 增大，则幅值裕量增加。,当增益裕量以分贝表示时，如果，则增益裕量定为正值，当,增量裕量定为负值，正增益裕量说明系统稳定。对于稳定的最小相位系统（即是系统的开环传递函数在s平面的右半部没有零点、极点的系统）而言，正增益裕量指出了系统在变成不稳定的系统时，增益可增加多少。对于不稳定的系统而言，负增益裕量指出了若使系统稳定，增益应减少多少。,例 试确定如图4.7所示的单位负反馈系统的稳定条件,即K值的取值范围。并试求当K=10和K=100时，对数幅相频率特性稳定判据的相位裕量和增益
11、裕量。,如若确定K值的取值范围,就要用劳斯稳定判据。判断此系统的稳定性,就要求此系统的闭环传递函数的特征方程,而后再确定令系统稳定的K值的取值范围。,系统的闭环传递函数为：,闭环系统的特征方程为,劳斯阵列为,当0K30时系统稳定。,下面按题目要求,求对数幅相频率特性稳定判据的相位裕量和增益裕量。,当K=10时，开环传递函数为,系统由四个典型环节组成,（1）比例环节,（2）积分环节,当 时，,则 为增益交界频率,（3）惯性环节,此环节时间常数 则转角频率（交点频率）,当 时，,可将 视为波德图渐近线的转角频率。,当 时，,（4）惯性环节,此环节时间常数,即转角频率,频率响应,根据上述四个环节绘制
12、 波德图,由图4.8可知：当K=10时，增益交界频率；相位裕量；相位交界频率；增益裕量等于10dB。由此可知幅值裕量和相位裕量均为正。如果作图准确的话,可以得到较为准确的裕量。,0o,-45o,-90o,-180o,-270o,5,1,10,0.1,30,40,46,26,20,0,6,10,c,W1(s),图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）,若想获得更为精确的值，需通过下列计算获得。,(1)求相位裕量,决定 的频率是波德图，从波德图看出，决定 位置的是G1(s)、G2(s)和G3(s)，而与G4(s)无关。,则开环传递函数为,则频率响应为,求增益交界频率，则,而
13、增益交界频率 处的对数幅频特性为,所以,取正值，则,决定相位裕量，则,其相位裕量为,(2)求增益裕量,首先需求 的相位交界频率,也就是相频特性曲线与-1800线的交点，因为，。又因为,所以可通过G3（s）和G4（s）两环节就可确定相位交界频率。,由上式可见 应为，则,取正值,求W1（s）在相位交界频率 下的增益裕量，有两种方法，一是可以将 代入 中求，但比较麻烦，但也可以将 代入每个环节后叠加。,当K=100时，,与W1（s）相比,只有比例环节(k=20)有区别，其它环节均相同。,其对数辐频特性为,由此可见，与K=10相比，只是增加20dB,则做图时将W1（s）幅频特性曲线平行上移20dB，见
14、图4.8。而相频特性曲线没有变化。,4.4液压仿形刀架控制系统的综合分析与计算,液压仿型刀架如图4.9所示，系统由伺服阀、液压缸及仿形机构三部分组成。触头位移 受样板控制，杠杆牵动伺服阀阀芯产生位移，形成节流口的开度来控制油缸的位移，此位移又使节流口逐渐关小，直到恢复阀体相对阀芯的原始位置。这一运动过程是刀架完全跟踪仿形样板型面的运动过程。,图4.9 液压仿形刀架结构原理图,1液压仿形刀架系统物理模型的建立,所有在x方向运动的部件（包括刀架、液压缸体、伺服阀）的质量为m，运动部件与非运动部件（液压缸活塞及活塞杆和其它导向机构）间的粘滞阻尼系数为，活塞杆的刚度系数为k，F为切削力(可认为外扰动力
15、)，AP为活塞有效工作面积，PL为油缸两腔压差（称为负载压差）PL=P1-P2，刀架位移为xo,2液压仿形刀架系统数学模型的建立,液压仿形首先不考虑杠杆和样板仿形部分，而只考虑伺服阀和液压缸部分。,（1）确定系统的输入量及输出量,伺服阀输入量为阀芯位移xe，其输出量为负载流量QL，QL表示管路中流量的平均值为，如不考虑泄漏，则,液压缸输入量为伺服阀的输出量，即负载流量QL。液压缸的输出量为液压缸也就是刀架的位移xo。,在此应该注意在建立数学模型时，前一个环节的输出量应该是后一个环节的输入量，这样有利于解所建立的联立方程时中间变量的消除。,（2）列写系统各环节的运动方程,伺服阀运动方程的建立,伺
16、服阀特性曲线如图4.10所示。首先建立伺服阀在不同的开口量，即阀芯位移为，的情况下，负载流量QL与负载压差PL的函数关系。其xei、QL、PL的函数关系为(4.1),图4.10 伺服阀特性曲线,液压缸流量方程的建立,根据液压系统的质量守恒原则，建立液压缸两腔的连续方程,左腔连续方程为(4.2),右腔连续方程为(4.3),式中 Cep液压缸外部泄漏系数（m5/Ns）；Cip液压缸内部泄漏系 数（m5/Ns）；P1液压缸左腔压力（MPa）；P2液压缸右腔压力（MPa）V1液压缸进油腔容积（m3）；V2液压缸回油腔容积（m3）；Q1液压缸进油流量（m3/s）；Q20液压缸回油流量（m3/s）；e液压
17、缸有效容积弹性模数（N/m2），表示压力相对体积的 变化率。,液压缸进油腔容积为,液压缸回油腔容积为,（4.4）,（4.5）,式中 V02，V01分别为液压缸左右两腔的初始容积，被认为是常数；AP 液压缸活塞的有效工作面积。,液压缸左右两腔的总容积为,式中V0活塞处于中间位置时左右腔的容积。,对（4.4）式求导得(4.6),对（4.5）式求导得(4.7),液压缸两腔的压差为(4.8),油泵的供油压力为(4.9),（4.8）式加（4.9）式得(4.10),（4.9）式减（4.8）式得(4.11),油泵的供油压力恒定，则=常数,对（4.10）求导得,对（4.11）求导得,（4.12）,式（4.2）
18、减（4.3）后，并将（4.6）、（4.7）、（4.12）、（4.13）代入，得,（4.13）,（4.14）,令式中,又因为,由（4.14）式得,（4.15）,液压缸力平衡方程的建立,根据物理模型建立其液压缸力学方程,则,(4.16),非线性方程的线性化处理,非线性方程 的线性化，需取额定工作点，如图4.10所示。,（4.17）,引入泰勒公式进行线性化处理,若函数 在点 处的某一邻域内具有1至n阶导数，则泰勒公式为,式中 拉格朗日型的余项，为高阶无穷小。,根据系统对精度的要求，可选择其中几项，本系统拟选择前两项。则（4.1）式可展成为,令,式中-流量放大系数；-流量压力系数。,则,（4.18）,
19、（4.18）与（4.17）两式的两端分别相减，得,（4.19）,式（4.19）表明了负载流量、阀芯位移 和负载压差 之间的线性关系。可见随着阀的工作点不同，阀的系数 和 也在变化。,因为伺服阀是在额定工作点处展开成线性，而且阀是工作在额定工作点附近，所以可将增量方程（4.19）写成,（4.20）,将（4.15）、（4.16）、（4.20）式拉氏变换，令初始条件为零则(4.21)(4.22)(4.23),将式(4.22)改写为(4.26)或(4.27)由式(4.23)、(4.25)、(4.27)绘制传递框图4.12如下：,由式(4.21)得(4.24)或(4.25),下图为由(4.23).(4.
20、25).(4.27)绘制传递框图。,图4.13负载压降与液压缸位移传递框图,由图4.13得,(4.29),由式(4.28)和式(4.26)得,(4.28),由式(4.29)得,(4.30),由式(4.30)得,(4.31),由式(4.32)变换得,由式(4.31)得,(4.32),(4.33),式中：为总流量压力系数。,(4.34),式(4.33)给出了液压缸位移对伺服阀阀芯位移输入和负载扰动力F的响应特性。该式考虑因素全面，但比较复杂。一般情况下，要根据实际情况进行必要的简化。下边是忽略系统的弹性系数时的筒化模型。当k=0时，式(4.29)分母第三项 可写成，显然阻尼力 远远小于液压缸的输出
21、力，泄漏损失流量 远小于液压缸运动所需的流量，故，则可以忽略。式(4.33)筒化后可写成,如果式中 小到可以忽略不计，则或,式中：无阻尼液压固有频率，；,液压阻尼比，无量纲；,速度常数(或称开环放大系数)，。,(1)只考虑负载扰动力F，而不计输入信号 时的传递函数为,(4.35),(2)只考虑伺服阀位移，而不考虑干扰力F时的传递函数为,(4.36),3液压仿形刀架系统传递函数的建立,建立以样板 为输入，刀架位移 为输出的传递函数。首先对只考虑伺服阀位移的（4.36）式进行拉氏变换，并令初始条件为零，则,（4.37）,（4.38）,式中 是 引起的阀芯位移；是 引起的阀芯位移。,对（4.38）式
22、进行拉氏变换，并令初始条件为零，则,（4.39）,图4.14 阀芯位移示意图,由（4.37）式和（4.39）式建立系统传递框图如图4.15所示。,图4.15 仿形刀架系统传递框图,系统闭环传递函数为,(4.40),如果令式中开环增益,固有频率,阻尼比,则由（4.40）式得,（4.41）,则系统的闭环传递框图如图4.16所示。,图4.16 仿形刀架系统传递框图,其系统的开环传递函数为,（4.42）,4绘制系统的波德图,首先给出有关参数的量值。伺服阀面积变化率（即表示滑阀每移动0.01m，开口面积变化多少m2）；流量系数；油液密度；供油压力；液压缸有效容积弹性模数，杠杆比；总负载质量；液压缸行程H
23、=0.11m；液压缸有效工作面积,阻尼比。,开环增益,系统固有频率,（1）绘制对数幅频特性曲线,由（4.42）式知，系统的开环传递函数W(s)是由比例、积分和振荡环节组成的。所以应分别画三个环节的对数幅频特性曲线然后再叠加。,比例环节,积分环节 的增益交界频率，幅频曲线以-20dB/dec 斜率下降。,振荡环节 转角频率 也是固有频率（振荡环节的固有频 率 等于转角频率）,所以，并且幅频特性曲线 大于 段是以-40dB/dec斜率 下降，如图4.17所示。,（2）绘制对数相频特性曲线,对数相频特性曲线的绘制，已知比例环节，积分环节，而振荡环节 在已知 的情况下，则所绘制的对数相频特性曲线如图4
24、.17所示。,5系统稳定性判断,利用对数幅相频率特性的稳定判据进行判断。首先看开环状态下是否稳定，即开环传递函数的特征方程在s平面右半部有无极点，无极点为开环状态下稳定，而有极点为开环状态下不稳定，这时再分两种情况进行判断。,开环传递函数的特征方程,为此式积分环节的零根通常按负实根处理，而振荡环节的根为,所以，此系统在开环状态下是稳定的，即m=0，那么闭环稳定的充分和必要条件是对数幅频特性 的所有频率 下，相频特性曲线 在 线正负穿越次数之差为0，由波德图看出确实没有穿越，故该系统稳定。,6求系统的相位裕量和增益裕量,（1）求系统的相位裕量,首先求三个环节叠加后的W(s)增益交界频率，从图4.
25、17中可以得到。如果若想获得精确的相位裕量就要通过计算的方法。由图4.17可见 是由比例环节G1(s)和积分环节G2(s)的传递函数决定，即,其频率响应为,求增益交界频率，,则,即,则,相位裕量，若求 在已知增益交界频率 的情况下的相位裕量，可首先通过（4.40）式列写振荡环节 的相角，则,则,再通过开环传递函数W(s)在 处三个环节相角的叠加求得总的相角，,则,则 相位裕量为,另外，开环传递函数 在 处的相角还可以通过（4.40）式求得,则,因为实部和虚部均为负值，所以相角应在第三象限，则,所以,（2）求系统的增益裕量,若求增益裕量，必须先求相位交界频率，即对数相频特性曲线与-180o线交点
26、的频率。为简化计算，因为积分环节是,所以只计算振荡环节与-90o线的交点频率 即可，如图4.14所示。而且是振荡环节的转角频率,所以 应等于系统的固有频率。已知 也即，通过（4.28）式可求出相位交界频率下的幅值，即为增益裕量。,由此上式可见频率特性虚部为零，则增益裕量为,所以，系统的增益裕量为+11.51dB。,如果按三个环节分别计算后再叠加，由波德图4.17可见，则,由此可见，两种计算方法所得增益裕量相差+4.437dB。其原因是因为 在 处的对数幅频特性是由渐近线获得，,即,如果将 代入下式计算可得 处的对数幅频特性值。,则,可见，当系统的相位交界频率 与振荡环节的固有频率 相等时将产生超调。,第4章 复习题1.稳定性是针对开环系统还是闭环系统而言的？2.稳定性和稳定裕量分别保证系统在何种状态下工作？3.线性系统的稳定性与输入信号是否有关？4.系统的稳定判据有哪几种(回答四种即可)？它们的充 分和必要条件是什么？5.设置系统的稳定裕量原因有哪五个方面？6.画极座标图和波德图，分别示意相位裕量和增益裕量，同时在图上注明决定两个裕量的频率及其名称。7.掌握用计算方法求相位裕量和增益裕量的方法和步骤。,
