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1、1,5.6 数据拟合与最小二乘法,实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:,2,纤维强度随拉伸倍数增加而增加,并且24个点大致分布在一条直线附近,-(1),3,必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点,一、最小二乘法,考虑一般的线性超定方程：,写成矩阵形式：,-(2),4,其中，,-(3),记,-(4),并称向量 为超定方程组(2)的余向量,定义：称n维向量 为线性超定方程组(2)的最小二乘解，如果它使,达到最小值.,-(5),5,要使(5)达到最小值，即求F的最小值，因此有：,即：,6,上式写成矩阵形式为：,-(6),
2、将n元线性方程组(6)称为超定方程组(2)的正规方程组或法方程组，其解称为超定方程组(2)的最小二乘解,定理：如果线性超定方程组(2)的系数矩阵A的列向量组线性无关，则其正规方程组(6)存在唯一的解向量,而且 是式(2)的最小二乘解，即对任意的n维向量，当 时有,7,证：,因为A的列向量线性无关，所以由线性代数的知识可以知道 是对称正定矩阵，因此方程组(6)存在唯一的解向量.设记,8,9,二、数据拟和,已知n组实验数据,求表达式，使它尽可能地反映已知数据的变化趋势，也就是说要求误差向量,按某种范数达到最小，这个问题称为数据拟和(或曲线拟和)问题，称 为拟和曲线或经验公式,如果拟和曲线是次数低于n-1的代数多项式，则称其为多项式拟和,以下讨论多项式拟和的最小二乘法,-(7),10,-(8),将 分别代入多项式(7)的两端，得一个含有m+1个未知数的线性超定方程组：,11,写成矩阵形式为：,其中，,-(9),12,的解,其中,13,例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出,纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系,故可选取线性函数,为拟合函数，的正规方程组,14,法方程组为,解得,15,拟合曲线与散点的关系如右图:,
