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1、,第六章 弯曲变形,材料力学,研究目的:防止过量变形,预防刚度不足导致失效破坏.,1940年11月日,华盛顿州的Tacoma Narrows桥,由于桥面刚度太差,在45mph风速的情形下,产生驰振。,实例:Collapse of the Tacoma Narrows Bridge,6-1 工程中的弯曲变形问题,破坏之前,扭曲运动,主跨破坏,边跨下垂,破坏惨状,新Tacoma桥,早期的大跨桥梁尤其是悬索桥是美国设计的居多,主梁刚度很大的那种,梁高很高,就像金门大桥.日本的悬索桥也是沿用这个技术路线.后来人们搞清二阶效应后,知道梁不用做的那么刚性,在车辆荷载下也是可以的.于是欧洲流派就尝试了很多扁
2、平的很柔的悬索桥结构,直到这个桥出事后才意识到风对桥的动力振动问题.,分 析 和 改 进,当时的风速不算很大,就是那个主梁断面设计的有问题,这个桥太柔,而且桥面也很窄,容易受侧向风荷载产生振动十年后重新建的桥,改进在边缘加个风嘴,中线处加一个横隔栏,梁的下部采用桁架结构,横截面设计成为流线形,稍微改变形状上的一个小细节,比如中线处加一个横隔栏都会对风振产生很大影响,y 与 y 轴同向为正,1.挠度:梁轴线的竖向位移,-挠曲线方程,6-2 挠曲线的微分方程,2.转角:截面绕中性轴的转角,-转角位移方程,逆时针转为正,3.y与 的关系:,tg=y,tg(小变形),=y,4.梁的挠曲线近似微分方程,
3、微分方程,(任一截面x点的弯矩和曲率的关系),上任一点的曲率),-(1),(2),(近似挠曲线微分方程),近似性:略去剪力的影响 略去了 项,可知:M与 符号相同,符号规定,y 取极小值,y 取极大值,当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同,梁的近似挠曲线微分方程必须分段表示。积分法一般步骤为:,一次积分得:,再次积分得:,其中:C(k),D(k)为积分常数,如梁的近似挠曲线微分方程分n段,则共有2n个积分常数,需要用积分定解条件确定。,6-3 用积分法求弯曲变形,1、边界条件,积分定解条件,待定积分常数由梁的边界条件与连续条件确定。,(1)在固定铰支座和辊轴支座处,约束条件为挠度等于零:y=0;
4、,(2)在固定端处,约束条件为挠度和转角都等于零:y=0,0。,边界条件是指约束对于挠度和转角的限制:,例1:悬臂梁,边界条件,例2:简支梁,边界条件,例3:具有弹簧约束的简支梁,设弹簧刚度为k,边界条件,2、连续条件:,在分段的交界处,由于连续性,两段方程在一截面的挠度和转角相等。,连续条件,例4:简支梁,积分定解条件:,例5:具有中间铰链约束的悬臂简支梁,边界条件,连续条件,分析:需要分成两部分,因此有4个待定的积分常数,例6:计算图示悬臂梁的最大转角和挠度。已知梁的抗弯刚度为EIz。,弯矩,边界条件,(2)梁的近似挠曲线微分方程,(3)积分计算位移,一次积分:,对上式再积分得:,(4)计
5、算最大转角和挠度,(b),把 x=l 代入(a)(b)得:,小结:,拉压变形:l,扭转变形:,弯曲变形,截面形心的竖向位移 y,截面绕中性轴转过的角度,弯曲变形:,1、梁变形的特征,公式应用的条件:,1)材料服从虎克定律;2)小变形,忽略剪力对挠度的影响;,小结:2、挠曲线近似微分方程,解:,边界条件:,连续条件:,例7 求梁的挠曲线方程及最大挠度,ab极值点在 AC 段,a=b 极值点在 C 点,注意:可以证明,当载荷P向某一支座靠近时,梁内最大挠度的位置趋近于L/3=0.577L,很接近梁中点位置。因此,工程中可近似用梁中点位置的挠度代替最大挠度。,作业:6-1,6-4(a),6-8(a),