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1、第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算,1.平面向量基本定理(1)基底：平面内_的向量e1,e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底.(2)平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=_.,不共线,1e1+2e2,2.平面向量的坐标表示(1)向量的夹角：定义：如图，已知两个_a和b，作 则向量a与b的夹角是或AOB.范围：向量a与b的夹角的范围是_.,非零向量,0180,当0时,a与b_；当180时,a与b_.当=90时,a与b_.(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相_的向量，叫做把向量正交分解.
2、,同向,反向,垂直,垂直,(3)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=_，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.,(x,y),3.平面向量的坐标运算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x,y),(x2x1，y2y1),判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)在ABC中，向量 的夹角为ABC.()(3)若
3、a,b不共线，且1a+1b=2a+2b，则1=2,1=2.(),(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.(),【解析】(1)错误.只有不共线的两个向量才能作为平面的一组基底.(2)错误.由向量夹角的定义知在ABC中，向量 的夹角为ABC的补角.(3)正确.由1a+1b=2a+2b，得(1-2)a+(1-2)b=0.又a,b不共线，故1-2=1-2=0,从而1=2,1=2.,(4)正确.由基底的定义及平面向量基本定理知正确.答案:(1)(2)(3)(4),1.若向量a(1，1)，b(1，1)，c(4，2)，则c()(A)3a+b(B)3a-b(C)
4、-a+3b(D)a+3b【解析】选B.设c=xa+yb，则c=3a-b.,2.在正方形ABCD中，的夹角是()(A)90(B)45(C)135(D)0【解析】选C.由于ABD=45，而 的夹角是ABD的补角，因此 的夹角为135.,3.设向量a(1，3)，b(2，4)，若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c()(A)(4，6)(B)(4，6)(C)(4，6)(D)(4，6)【解析】选C.设c(x，y)，则4a+(3b-2a)+c=0，,4.若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则=_.【解析】由题意知答案:(-3，-3),例题：(2013天津模拟)如图，在
5、ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设 用a,b表示向量,考向 1 平面向量基本定理及其应用,【规范解答】DEBC，,由ADEABC，得又AM是ABC的中线，DEBC，,【互动探究】在本例题图中，连结CD交AM于点P，若 求,的值.,【解析】,【拓展提升】用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.,【变式训练】如图所示，E,F分别是四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，已知,【解析】方法一
6、：连结AF,【典例2】已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，O为坐标原点.设(1)求3a+b-3c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.,考向 2 平面向量的坐标运算,【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).(1)3a+b-3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2)mb+nc(6mn，3m8n)(5，5)，,1.(2012广东高考)若向量 则=()(A)(-2,-4)(B)(2,4)(C)(6,10)(D)(-6,-10)【解析】选A.,课堂练习,2.(2013荆门模拟)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若(),【解析】选B.由已知得DE EB，又DEFBEA，DF AB，即DF DC，CF CD，,3.(2013金华模拟)已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC=45，设 则的值为(),【解析】选D.如图，过C作CEx轴于点E，则|OE|=|CE|=2，所以 所以(-2，0)=(-3，0)，故 故选D.,课堂小结,1.理解平面向量的基本定理；,2.掌握平面向量的坐标表示及其运算。,布置作业,“课时提升作业”P264：一，二题,
