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1、二维随机变量及其分布,第三章,二维随机变量及其联合分布,边缘分布与独立性,两个随机变量的函数的分布,例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。,不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。,设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（X，Y）为上的一个二维随机变
2、量。,定义,二维随机变量,二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点,二维随机变量的联合分布函数,若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.,定义,称为二维随机变量的联合分布函数,性质,(3),P（x1 X x2，y1 Y y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),联合分布函数表示矩形域概率,P（x1 X x2，y1 Y y2）,F(x2,y2),-F(x2,y1),-F(x1,y2),+F(x1,y1),二维离散型随机变量,若二维 随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。,如何反映（X，Y）的取值规律呢
3、？,定义,研究问题,联想一维离散型随机变量的分布律。,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,表达式形式,表格形式（常见形式）,性质,的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).,，(1/3)(2/2)1/3，(2/3)(1/2)1/3，=(2/3)(1/2)1/3，,例,解,见书P69，习题1,的可能取值为,例,解,(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）,（X，Y）的联合分布律为,若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数 可表示成如下形式,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.,
4、二维连续型随机变量的联合概率密度,定义,联合概率密度函数的性质,非负性,几何解释,.,.,随机事件的概率=曲顶柱体的体积,设二维随机变量,的概率密度为,(1)确定常数 k；,；,.,(4)求,例,(1),所以,解,(2),当 时，,当 时，,所以，,(3),或解,(4),解,续解.,x+y=3,1,解答,二维均匀分布,思考 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）,解（X,Y）的密度函数为,（1）当 时，,分布函数为,（2）当 时，,（3）当 时，,所以，所求的分布函数为,-1/2,二维正态分布,边缘分布,随
5、机变量的相互独立性,边缘分布 marginal distribution,二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。,问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？,边缘分布问题,边缘分布 marginal distribution,设二维随机变量 的分布函数为，,二维离散型R.v.的边缘分布,如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,即,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,第j列之和,第i行之和,二维离散型
6、R.v.的边缘分布,例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,求关于X、Y的边缘分布,关于Y的边缘分布,解 关于X的边缘分布为,（X，Y）的联合分布列,二维连续型随机变量的边缘分布,关于X的边缘概率密度为,关于Y的边缘概率密度为,例2 设（X,Y）的联合密度为,求k值和两个边缘分布密度函数,解,由,得,当 时,关于X的边缘分布密度为,解,所以，关于X的边缘分布密度为,所以，关于Y的边缘分布密度为,当 时,当 时,当 时,关于Y的边缘分布密度为,边缘分布密度和概率的计算,例3,设（X,Y)的联合分布密度为,（1）求k值,(2)求关于X和Y的边缘密度,（3）求概率P(X+Y1/2),(2
7、),均匀分布,解,得,当 时,当 时,所以，关于X的边缘分布密度函数为,续解.,解,当 时,当 时,所以，关于Y的边缘分布密度函数为,解（3）,见课本P59例3,如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布,则两个边缘分布分别服从正态分布,与相关系数 无关,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布,解 关于X的分布密度函数为,所以，,同理可得,不同的联合分布，可有相同的边缘分布。,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布,随机变量的相互独立性,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别
8、为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。,对任意i,j,对任意x,y,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.,在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,设（X，Y）的概率分布（律）为,证明：X、Y相互独立。,例1,逐个验证等式,证 X与Y的边缘分布律分别为,X、Y相互独立,例2 设（X，Y)的概率密度为,求(1)P（0X1，0Y1）(2)(X,Y)的边缘密度，（3）判断X、Y是否独立。,解 设A=（x，y）：0 x1
9、，0y1）,边缘密度函数分别为,当 时,当 时,所以，,同理可得,所以 X 与 Y 相互独立。,例3 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分 布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区 域。判断X，Y是否独立。,解（X,Y）的密度函数为,当 时，,所以，关于X的边缘分布密度为,关于X的边缘分布密度为,当 或 时,当 时，,所以，关于Y的边缘分布密度为,关于Y的边缘分布密度为,当 或 时,所以,所以，X与Y不独立。,例4,时,解,于是,同理,所以,即 X 与 Y 独立。,时,二维随机变量的函数的分布,二维随机变量的函数的分布,的分布函数,问题：如何确定随机变量Z的分布呢？,二维
10、离散型随机变量的函数的分布,则 是一维的离散型随机变量,其分布列为,例 设 的联合分布列为,分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列,解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格,解 得所求的各分布列为,二维连续型随机变量的函数的分布,则 是一维的连续型随机变量,其分布函数为,是二元连续函数，,其分布密度函数为,解,解,所求分布函数为,分布密度函数为,两个随机变量的和的分布,见课本P67例1,如果（X，Y）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为,或,特别，当X，Y相互独立时，有卷积公式,或,记 住 结 论！,两个独立随机变量的和的分布,如果X与Y相互独立,例 证明：如果X与Y相互独立，且XB（n,p），YB（m,p），则X+YB（n+m,p）,证明 X+Y所有可能取值为 0，1，,m+n.,证毕,
