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1、第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理,一、什么是正态分布,正态分布(Normal Distribution)服从一类确定的规律，又称为常态分布或高斯分布。,如统计了96人的初婚年龄,18.5 20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 32.5,x,(x),表5-1,图5-1,(x),1.正态分布曲线是单峰，有一个最高点；2.分布曲线有一个对称轴x=；3.分布曲线以横轴为渐近线。中位值、中值、均值三者重叠。,分布密度曲线的特征：,1.曲线在x=处达到最高值，并且以x=对称。,正态分布的概率密度表达式为：,2.在不变的情况下，越小，图形越尖锐，反之则低阔。,1,2,3,图5-
2、2,图5-3,=0.5,=1,=2,参数和代表的意义,正态曲线下每一小块面积就是随机变量 在该小块取值 所出现的概率，曲线下的整个面积由无数个小直方形拼成。,曲线下任意两点 的概率，就是对从 到 的所有小块面积进行累加，即,几个典型取值区间的概率值,图5-4,34.13%,34.13%,13.6%,13.6%,2.16%,2.16%,0.11%,0.11%,二、标准正态分布,根据Z值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为,变量值标准化,标准正态分布其实是一般正态分布的一个特例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(，2)。一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态分布，就是把原来坐标中的零点沿着
3、X轴迁到点，并且以为单位记分。,图5-5,0,=1,（一）正态分布与标准正态分布的特点对比,1.标准正态曲线在Z=0处达到最高点；2.标准正态曲线以Z=0为中心，双侧对称；3.标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永不与基线相交；4.平均数为0，标准差为1；5.标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负1个标准差内向下向内弯，从正负1个标准差开始，向下向外弯。,（二）正态分布与标准正态分布面积之间的对应关系,34.13%,34.13%,13.6%,13.6%,2.16%,2.16%,0.11%,0.11%,图5-6,（三）标准分的实际意义,例1：甲、乙、丙3个同学社会统计学分数都是80
4、分，甲同学所在班平均成绩甲=80分，乙=75分，丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、丙3个同学在班上的成绩。,例2：设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成绩都为75分，甲=10分，乙=15分，丙=20分，比较甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。,如果各科原始分数呈正态分布，可将各科原始分数转换成标准分，求其总和，再比较总分大小。,例3：甲、乙两生高考的政治分数分别为70分、60分，物理分数分别为60分、70分，从总分上看，两生的总成绩相等，但政治的平均分是70分，=20，而物理的平均分是50分，=40。,为了使标准分Z值变成形式上的原始分数，一般将Z值乘以10，加上50，就变成了T分数：T=10
5、Z+50,T甲=0.2510+50=52.5；T乙=010+50=50,标准分数的大小和正负可以反映某一个考生在全体考分中所处的地位，如甲生英语分数为Z=-0.44之上有67%的考生；乙生Z=0.25之上有40.13%的考生，通过每个考生在总体中的位置比较优劣，所以称为相对分数。,三、标准正态分布表的使用,标准正态分布表是根据概率密度，用积分计算Z取不同值时正态分布曲线下的面积。有的从Z=-开始，Z逐渐增加，表中所列是某个Z分数以下的累积概率；有的从Z=0开始，Z逐渐变化，计算从Z=0到某一定值之间的概率，因为正态分布对称，且对称轴为=0，所以当Z0时相应的Z分数概率值相等。,任意两点Z1，Z
6、2之间的面积就是,图5-7,图5-8,图5-9,例4：,例5：,例6：,例7：,例8：,例9：,即在60.24分到83.76分之间包括有95%的学生。,图5-10,95%,例10：,表5-2,图5-11,0 Z,四、常用统计分布,样本具有两重性：假设x1、x2xn是从总体X中抽取的样本，在一次具体的观测或试验中，它们是一批测量值，是一些已知数，即样本具有数的属性。在不同的观测中样本取值可能不同，因此当脱离开特定的具体试验或观测时，并不知道样本 x1、x2xn的具体取值是多少，可以把它们看作随机变量，即样本具有随机变量的属性。,如果在相同条件下对总体X进行n次重复的独立观测，那么可以认为所获得的
7、样本x1、x2xn是独立的，并且服从相同分布的随机变量。如：当我们把一个长度为的物体测量了n次，获得样本x1、x2xn之后，要计算其算术平均数作为的估计，其平均数就是对样本进行处理后得到的一个统计量。样本均值、样本方差是几个主要的统计量。三大分布：x2分布、t分布和F分布,（一）x2分布,随着自由度增加，图形渐趋对称；x2具有可加性。设x2(k1)、x2(k2)，且与相互独立，则+=x2(k1+k2)，即+x2(k1+k2),图5-12,K=1,K=2,K=6,X2分布表的编制与使用（附表6）,（二）t分布（学生分布）,设随机变量N(0,1)，x2(k)，且与相互独立，则随机变量,的分布称为自
8、由度为k的t分布,或学生分布，并记作t(k)。,图5-13,0,t分布表的使用,（三）F分布,图5-14,0,（1，10）,（5，10）,（10，10）,（，10）,F分布表是根据F分布函数计算得来的，附表7中对于不同的自由度及不同的（0 1），给出了满足式 的F值。,五、大数定理与中心极限定理,当观察次数n趋向于无穷大时所得出的一系列定理，统称为极限定理。极限定理又分为大数定理和中心极限定理。大数定理一般讨论n个随机变量的平均值的稳定性；中心极限定理讨论在一般情况下，n个随机变量的和当n时的极限分布是正态分布。,（一）贝努里大数定理,（二）切贝谢夫大数定理,（三）中心极限定理,上面的表达式还有以下几种表达方法：,
