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1、电工基础,东北大学信息学院电子信息工程研究所,第三章正弦稳态电路分析,第三章 正弦稳态电路分析,3.1 正弦交流电3.2 正弦量的相量表示法3.3 R,L,C伏安关系的相量形式3.4 基尔霍夫定律的相量形式3.5 复阻抗、复导纳及其等效变换3.6 正弦交流电路中的功率3.7 正弦稳态电路的计算,第三章 正弦稳态电路分析,本章重点：正弦量的相量表示法；,两类约束的相量形式；,正弦交流电路的功率和正弦稳态电路的计算,第三章 正弦稳态电路分析,本章要求,1.理解正弦量的特征及其各种表示方；,2.理解电路基本定律的相量形式及阻抗；熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图。,3.掌握有功功率和功
2、率因数的计算,了解瞬时 功率、无功功率和视在功率的概念；,4.了解正弦交流电路的频率特性，,5.了解提高功率因数的意义和方法。,3.1 正弦交流电,正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的量。,+,_,正弦交流电的优越性：便于传输；易于变换 便于运算；有利于电器设备的运行；.,正半周,负半周,3.1.1 正弦量的三要素,设正弦交流电流：,幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。,周期T：变化一周所需的时间（s）,幅值：Im、Um、Em,注意：交流电压、电流表测量数据为有效值,交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值,正弦量的相位差,相位：,初相位：表示正弦量在 t=0时的相角。,反映正弦量变化的进程
3、。,如：,若,电压超前电流,两同频率的正弦量之间的初相位之差。,电流超前电压,电压与电流同相,电流超前电压,电压与电流反相,不同频率的正弦量比较无意义。,注意:,两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。,有效值：如果一个周期电流 i 通过电阻 R,在一个周期 T 内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通过该电阻 R 消耗的能量,则I 定义为 i 的有效值,则有,交流,直流,正弦量的有效值,同理：,3.2 正弦量的相量表示法,瞬时值表达式,重点介绍相量表示法。,波形图,正弦量的表示方法,相量,复数,复数表示形式,设A为复数:,实质：用复数表示正弦量,式中:,(2)三角式,由
4、欧拉公式:,(3)指数式,可得:,3.2.2.用旋转相量表示正弦量,设正弦量:,若:有向线段长度=,则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。,有向线段与横轴夹角=初相位,u0,设正弦量:,相量:表示正弦量的复数称相量,电压的有效值相量,相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。,注意:,？,只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。,只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。,相量的书写方式,模用最大值表示，则用符号：,相量的两种表示形式,相量图:把相量表示在复平面的图形,实际应用中，模多采用有效值，符号：,可不画坐标轴,如：已知,“j”的数学意义和物理意义,设相
5、量,旋转 因子：,将逆时针旋转，得到,将顺时针旋转，得到,正误判断,1.已知：,？,有效值,？,3.已知：,复数,瞬时值,j45,？,最大值,？,？,负号,解:(1)相量式,(2)相量图,例1:将 u1、u2 用相量表示,3.3.1 电阻元件。,描述消耗电能的性质,根据欧姆定律:,即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系,线性电阻,金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能有关，表达式为：,表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。,电阻的能量,3.3 R、L、C 伏安关系的相量形式,基本关系式：,频率相同,U=RI,电压与电流同相,相位差,电压与电流的关系,设：,1.电压与电流的关系,设
6、,大小关系：,相位关系：,u、i 相位相同,根据欧姆定律:,频率相同,相位差：,2.功率关系,(1)瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积,小写,结论:（耗能元件）,且随时间变化。,p,瞬时功率在一个周期内的平均值,大写,(2)平均功率(有功功率)P,单位:瓦（W）,注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。,描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。,1.物理意义,3.3.2 电感元件,线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。,基本关系式：,频率相同,U=I L,电压超前电流90,相位差,1.电压与电流的关系,电感元件,设：,或,则:,感抗(),电感L具有通直阻交
7、的作用,定义：,有效值:,感抗XL是频率的函数,可得相量式：,电感电路复数形式的欧姆定律,2.功率关系,(1)瞬时功率,(2)平均功率,L是非耗能元件,储能,放能,储能,放能,电感L是储能元件。,结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。,可逆的能量转换过程,用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即,单位：var,(3)无功功率 Q,瞬时功率：,（2）当 f=5000Hz 时,所以电感元件具有通低频阻高频的特性,练习题：,电流与电压的变化率成正比。,基本关系式：,1.电流与电压的关系,频率相同,I=UC,电流超前电压90,相位差,则：,电容元件,设：,
8、或,则:,容抗（）,定义：,有效值,所以电容C具有隔直通交的作用,容抗XC是频率的函数,可得相量式,则：,电容电路中复数形式的欧姆定律,2.功率关系,(1)瞬时功率,(2)平均功率,C是非耗能元件,瞬时功率：,充电,放电,充电,放电,所以电容C是储能元件。,结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。,同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。,(3)无功功率 Q,单位：var,为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设,则：,指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？,在电阻电路中：,在电感电路中：,在电容电路中：,【练习】,电阻的标称值,误差,标称值,10%（E12）,5%（E24
9、）,1.0、1.2、1.5、1.8、2.2、2.7、3.3、3.9、4.7、5.6、6.8、8.2,电阻的标称值=标称值10n,1.0、1.1、1.2、1.3、1.5、1.6、1.8、2.0、2.2、2.4、2.7、3.0、3.3、3.6、3.9、4.3、4.7、5.1、5.6、6.2、6.8、7.5、8.2、9.1等,实际的电阻、电容,电阻的主要指标1.标称值2.额定功率3.允许误差种类:碳膜、金属膜、线绕、可变电阻,电容的主要指标1.标称值2.耐压3.允许误差种类:云母、陶瓷、涤纶电解、可变电容等,一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。,单一参数电路中的基本关系,小 结,3.7单一参数正弦
10、交流电路的分析计算小结,电路参数,电路图(参考方向),阻抗,电压、电流关系,瞬时值,有效值,相量图,相量式,功率,有功功率,无功功率,R,i,u,设,则,u、i 同相,0,L,C,设,则,则,u领先 i 90,0,0,基本关系,+,-,i,u,+,-,i,u,+,-,设,u落后 i 90,3.4 基尔霍夫定律的相量形式,结论：相量形式的基尔霍夫定律仍然成立,3.4 基尔霍夫定律的相量形式,一、基尔霍夫电流定律的相量形式,基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式为,假设电路中全部电流都是相同频率的正弦电流
11、，则可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式,代入KCL方程中得到,由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，即,相量形式的KCL定律表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一结点，流出该结点的全部支路电流相量的代数和等于零。在列写相量形式KCL方程时，对于参考方向流出结点的电流取“+”号，流入结点的电流取“-”号。,特别注意的是,例3-1 电路如图10-12(a)所示,已知,试求电流i(t)及其有效值相量。,图 10-12,解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量 模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将 时域模型中各电流符号 用相应的相量符 号 表示，并
12、计算出电流相量。,列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式为,由此可得,写出相应的电流瞬时值表达式,值得特别提出的是在正弦电流电路中流出任一结点的全部电流有效值之代数和并不一定等于零，例如本题中的I=6.2I1+I2=10+5=15。,二、基尔霍夫电压定律的相量形式,假设电路中全部电压都是相同频率的正弦电压，则可以将它们用有效值相量表示如下：,基尔霍夫电压定律(KVL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压代数和等于零。其数学表达式为,代入KVL方程中得到,由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，即,这就是相量形式的KVL定律，它表示对于
13、具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。在列写相量形式KVL方程时，对于参考方向与回路绕行方向相同的电压取“”号，相反的电压取“”号。值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说,例10-7 电路如图10-13(a)所示，试求电压源电压uS(t)和相 应的电压相量，并画出相量图。已知,图 10-13,解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量 模型，并计算出电压相量。,对于图(b)相量模型中的回路，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式KVL方程,写出相应的电压瞬时值表达式,值得注意的是回路中全部电
14、压有效值之代数和并不一定等于零，本题中的 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26。,由此可求得,关于复数的几个公式,1.假设复数,则有,2.假设复数,3.假设复数,则有,则有,要求掌握计算器进行复数两种形式的转换。,CASIO fx-100 3+j4=?3 4 5 53.1,举例,SHARP EL-5812 3+j4=?3 4 5 53.1,CASIO fx-100 553.1=?5 53.1 3 4,SHARP EL-5812 5=?5 53.1 3 4,注意：DEG表示度数,电路分析中采用符号,应用欧拉公式 可以得到,交流电路、与参数R、L、C、间的关系如何？,3.5.1 R、L、
15、C串联及复阻抗,直流电路两电阻串联时,设：,RLC串联交流电路中,3.5复阻抗、复导纳及其等效变换,设：,则,(1)瞬时值表达式,根据KVL可得：,(2)相量法,则,总电压与总电流的相量关系式,1)相量式,令,则,Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。,Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。,阻抗,复数形式的欧姆定律,注意,根据,电路参数与电路性质的关系：,阻抗模：,阻抗角：,2)相量图,(0 感性),XL XC,参考相量,由电压三角形可得:,电压三角形,(0 容性),XL XC,由相量图可求得:,2)相量图,由阻抗三角形：,电压三角形,阻抗三角形,3.5.2
16、 R、L、C并联及复导纳,分流公式：,通式:,例2:,解:,同理：,相量图,注意：,或,导纳：阻抗的倒数,当并联支路较多时，计算等效阻抗比较麻烦，因此常应用导纳计算。,如：,导纳:,导纳:,（单位：西门子S）,导纳:,同理：,通式:,同阻抗串联形式相同,用导纳计算并联交流电路时,注意：导纳计算的方法适用于多支路并联的电路,思考,下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？,1.图示电路中,已知,3.6 基尔霍夫定律的相量形式,储能元件上的瞬时功率,耗能元件上的瞬时功率,在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。,(1)瞬时功率,设：,(2)平均功率P（有功功率
17、）,单位:W,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,(3)无功功率Q,单位：var,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,根据电压三角形可得：,根据电压三角形可得：,(4)视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。,单位：VA,注：SNUN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。,阻抗三角形、电压三角形、功率三角形,将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形,将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形,(5)功率因数的提高,1.功率因数:对电源利用程度的衡量。,的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角,(1)电源设备的容量不能充分利用,若用户：
18、则电源可发出的有功功率为：,若用户：则电源可发出的有功功率为：,而需提供的无功功率为:,所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用,无需提供的无功功率。,（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗,(费电),所以要求提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义。,设输电线和发电机绕组的电阻为:,所以提高 可减小线路和发电机绕组的损耗。,2.功率因数cos 低的原因,日常生活中多为感性负载-如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图。,40W220V白炽灯,40W220V日光灯,供电局一般要求用户的 否则受处罚。,常用电路的功率因数,(2)提高功率因数的措施:,3.功率因数的提高,必须保证原负载的
19、工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。,在感性负载两端并电容,(1)提高功率因数的原则：,结论,并联电容C后：,(3)电路总的有功功率不变,因为电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。,4.并联电容值的计算,相量图:,又由相量图可得：,即:,例1:,求并C前后的线路电流,并C前:,可见:cos 1时再继续提高，则所需电容值很大（不经济），所以一般不必提高到1。,并C后:,例2:,电源的额定电流为：,例2:,该电源供出的电流超过其额定电流。,（2）如将 提高到0.9后，电源提供的电流为：,该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载；所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。,例
20、1：,已知:,求:(1)电流的有效值I与瞬时值 i;(2)各部分电压的有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。,在RLC串联交流电路中，,解：,(1),(2),方法1：,方法1：,通过计算可看出：,而是,(3)相量图,(4),或,(4),或,呈容性,方法2：复数运算,例2：,已知:,在RC串联交流电路中，,解：,输入电压,(1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系(2)当将电容C改为 时,求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。,方法1：,(1),方法2：复数运算,方法3：相量图,（3）,从本例中可了解两个实际问
21、题：,(1)串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适的C，使),(2)RC串联电路也是一种移相电路，改变C、R或 f 都可达到移相的目的。,1.假设R、L、C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？,2.RLC串联电路的 是否一定小于1？,4.在RLC串联电路中，当LC时，u超前i，当LC时，u滞后i，这样分析对吗？,正误判断,？,？,？,？,在RLC串联电路中，,？,？,？,？,？,？,？,？,？,？,分压公式：,通式:,解：,同理：,或利用分压公式：,注意：,相量图,下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？,思考,3.7 正弦交流电路的计算,若正弦量用相量 表示，电路参数用复数阻抗
22、（)表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。,相量形式的基尔霍夫定律,相量（复数）形式的欧姆定律,有功功率 P,有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，或各支路有功功率之和。,无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。,无功功率 Q,或,或,一般正弦交流电路的解题步骤,1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变),2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图,3、用相量法或相量图求解,4、将结果变换成要求的形式,例1：,已知电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。,一般用相量式计算:,分析题目：,已知:,求:,解：用
23、相量式计算,同理：,例2：,下图电路中已知：I1=10A、UAB=100V，,求：总电压表和总电流表 的读数。,解题方法有两种：,(1)用相量(复数)计算,(2)利用相量图分析求解,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、UAB=100V，,解法1:用相量计算,所以A读数为 10安,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、UAB=100V，,解法2:利用相量图分析求解,画相量图如下：,设 为参考相量,由相量图可求得：,I=10 A,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、UAB=100V，,超前,UL=I XL=100V,V=141V,由相量图可求得：,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、
24、UAB=100V，,设 为参考相量,由相量图可求得：,解：,例3：,已知,开关闭合后 u，i 同相。,开关闭合前,求:,(1)开关闭合前后I2的值不变。,解：(2)用相量计算,开关闭合后 u，i 同相，,由实部相等可得,由虚部相等可得,解：,求各表读数,(1)复数计算,(2)相量图,根据相量图可得：,求参数 R、L、C,方法1：,方法2：,即:XC=20,例5：,图示电路中,已知:U=220 V,=50Hz,分析下列情况:,(1)K打开时,P=3872W、I=22A，求：I1、UR、UL,(2)K闭合后发现P不变，但总电流减小，试说明 Z2是什么性质的负载？并画出此时的相量图。,解:(1)K打开时:,(2)当合K后P不变 I 减小,说明Z2为纯电容负载,相量图如图示:,方法2:,
