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1、符号计算与微积分,符号表达式及其应用微分和积分符号计算台劳展开式符号计算旋转曲面绘制方法,在符号计算中,符号表达式是主要操作对象.符号表达式符号变量、运算符、函数、数字组成在定义符号表达式之前,首先要创建符号变量.,符号计算又称为计算机代数，以符号形式处理数学表达式，关注准确的计算和公式推导。符号计算不仅用于数学研究，还可以用于工程计算。1993年MathWorks公司购买Maple的使用权,开发了符号计算工具箱Symbolic Math Toolbox.,syms 符号变量1 符号变量2,符号变量创建方法,syms x;f=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x);ezplot(f,0,
2、8*pi),例3.2 用符号表达式定义 f(x)=e-0.2xsin0.5x 并绘图.,Name Size Bytes Class f 1x1 168 sym object x 1x1 126 sym object,Whos,S1=subs(S,old,new)用new置换符号表达式S中的old 例3.3输入不同的参数a,b绘制函数的图形 f(x)=exp(-a x)sin(b x),符号表达式中变量替换方法,syms a b xf=exp(-a*x)*sin(b*x);f1=subs(f,a,0.8);f2=subs(f1,b,0.5);ezplot(f2,0,2*pi),例3.4 用符号计
3、算验证三角恒等式,syms x1 x2;y1=sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2);y2=simple(y1)expand(y2),y2=sin(x1-x2)ans=sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2),练习:分别用simple和simplify对符号表达式cos(x)2-sin(x)2进行化简，观察结果,化简符号表达式方法simplify,微积分符号计算,diff(f)对缺省变量求导数diff(f,v)对指定变量 v 求导数diff(f,v,n)对指定变量 v 求n阶导数int(f)对f表达式的缺省变量求积分int(f,v)对f表达式的v变
4、量求积分int(f,v,a,b)对f表达式的v变量在a,b 区间求定积分,例3.6 验证求导数公式,(k=1，2，3，4),syms xs=diff(sin(x),1)=sin(x+pi/2);diff(sin(x),2)=sin(x+pi);diff(sin(x),3)=sin(x+3*pi/2);diff(sin(x),4)=sin(x+2*pi),s=1 1 1 1,Name Size Bytes Class s 1x4 32 double array x 1x1 126 sym object,whos,例3.7计算 f=1/(5+4cos(x)关于x的导数,syms xf=1/(5+4
5、*cos(x)ezplot(f)f1=diff(f,x,1)ezplot(f1),f1=4/(5+4*cos(x)2*sin(x),例3.9 计算不定积分,syms xint(exp(a*x)*sin(b*x)g=simplify(ans)g=exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2)diff(g)f=simplify(ans)f=exp(a*x)*sin(b*x),例3.11 计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x),绕X轴旋转的旋转曲面体积,数据转化为数值数据:double(A)numeric(A),syms a b xf=exp(a*x
6、)*sin(b*x);f1=subs(f,a,-0.2);f2=subs(f1,b,0.5);V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi)double(V),V=pi*(-125/116*exp(-4/5*pi)+125/116)ans=3.1111,theta=linspace(0,2*pi,20);r=exp(-.2*theta).*sin(0.5*theta);cylinder(r)X,Y,Z=cylinder(r);figure,mesh(Z,X,Y)colormap(0 0 1),注记：旋转曲面的绘图方法如下,例3.12 计算二重积分,syms x yf=x2*sin(y);in
7、t(int(f,x,0,1),y,0,pi)ezmesh(f,0,1,0,pi),ans=2/3,定积分数值计算命令 quad(f,a,b)例3.14 计算积分上限函数值,f=inline(x.3./(exp(x)-1);q=;for k=1:5 q=q,quad(f,eps,k);endq,级数求和运算,S=symsum(f，n，a，b),syms k nS=symsum(k,k,1,n)；S1=simple(S)S1=1/2*n*(n+1)S=symsum(k2,k,1,n);S2=simple(S)S2=1/6*n*(n+1)*(2*n+1),例3.17计算级数,taylor(f,n,x
8、)n-1次麦克劳林多项式展开taylor(f,n,x,a)a点的n-1次泰勒多项式展开.,例3.21求椭圆积分近似表达式,syms t e2 xf=sqrt(1-e2*x)F=taylor(f,3,x)g=subs(F,x,cos(t)2)int(g,0,pi/2),ans=1/2*pi-1/8*e2*pi-3/128*e22*pi,定积分近似计算实验,syms e2 tf=sqrt(1-e2*cos(t)2);S1=inline(1/2*pi-1/8*E2*pi-3/128*E22*pi);E2=0.2;P=;Q=;,符号计算近似计算,for k=1:5 E2=E2+.1;P=P,S1(E2
9、);f1=subs(f,e2,E2);S=int(f1,0,pi/2);Q=Q,double(S);endQ;P,命令格式：dsolve(eq1,con1,x)y的一阶导数 Dy,y的二阶导数 D2y,例3.26 解微分方程,y=dsolve(Dy=1/(1+x2)-2*y2,y(0)=0,x)y=2*x/(2*x2+2),符号解：y(x)=x/(1+x 2),旋转曲面绘制方法,非负函数 y=f(x)在有限区间上的图形为上半平面的一条曲线，曲线绕x轴旋转时，产生以x为对称轴的旋转曲面，方程为,绘制网面需创建三维坐标矩阵,对某一确定的x=t,旋转曲面上对应于过点x=t垂直于X轴的圆,该圆周上所有
10、点的X坐标不变，y和z的坐标则满足圆的方程,f=inline(exp(-0.2*x).*sin(0.5*x);t=(0:20)*pi/10;theta=t;r=f(t);x=t*ones(size(t);y=r*cos(theta);z=r*sin(theta);mesh(x,y,z)colormap(0 0 0)axis offview(-17,54),曲线 绕X轴旋转图形绘制,思考题与练习题,用syms x 定义了符号变量,表达式Y=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x)与一般表达式有何不同,2.定积分符号计算与数值计算有何不同？3.旋转曲面的面积计算公式如何构造？4.写出曲线 y=f(x)绕y轴旋转的旋转曲面方程5.下面两个曲面是由同一个平面曲线旋转产生的,这个平面曲线的方程是什么?,
