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1、2.3 连续型随机变量及其概率密度,一、连续型随机变量的概念与性质二、一些常见连续型随机变量的分布,还可以得出连续型随机变量 X 的分布函数一定连续,一、连续型随机变量的概念与性质,如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，,1.定义,使得对于任意实数 x，,存在非负函数 f(x)，,有,则称 X 为连续型随机变量，,其中函数 f(x)称为X 的概率密度函数,简称概率密度.,连续型随机变量 X 可由其密度函数唯一确定,由定义知道，概率密度 f(x)具有以下性质：,2.性质,证明,证明,同时得以下计算公式,另外，可以证明:,满足这两个性质的非负函数一定是某一个随机变量的概率密度函数.,则有,事实上
2、,由积分中值定理得,注 意,1.连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！,不能认为,2.连续型随机变量的一个重要特点,对于任意可能值 a,连续型随机变量取 a 的概率等于零.,即,连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关,证明,由此可得,若X是连续型随机变量，X=a 是不可能事件，则有,若 X 为离散型随机变量,一般有,注意,连续型,离散型,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,例1,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解：,由密度函数的性质,因此
3、,例1,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,(1)因为 X 是连续型随机变量,例2,设 X 是连续型随机变量，其分布函数为,故有,解,例2,设 X 是连续型随机变量，其分布函数为,解,例2,设 X 是连续型随机变量，其分布函数为,解,(3),例3,某电子元件的寿命（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.,解：,设A=某元件在使用的前 150 小时内需要更换,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验,设B=5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时,二、一些常用的连续型随机
4、变量,1.均匀分布,定义,如果连续型随机变量X 的密度函数为,记为,密度函数的验证,均匀分布的概率背景,类似地，我们可以定义,均匀分布的分布函数,例 4 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率,设该乘客于7时X分到达此站,解：,令：B=候车时间不超过5分钟,则,例 5,解：,设,则,例 6 设随机变量 X 在 2,5上服从均匀分布,现对 X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”,解,即 A=X 3
5、.,因而有,设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则,2.指数分布,如果连续型随机变量 X 的密度函数为,定义,密度函数的验证,指数分布的分布函数,应用与背景,某些元件或设备的寿命服从指数分布，例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等；电话的通话时间等都服从指数分布.,X 的分布函数为,解,例7 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,例7 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 的指数分布(单位:小
6、时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,X 的分布函数为,解,指数分布的重要性质:“无记忆性”.,例8,X 的密度函数为,解,X 的分布函数为,令：B=等待时间为1020分钟,如果连续型随机变量 X 的密度函数为,定义,3.正态分布(或高斯分布),正态概率密度函数的几何特征,正态概率密度函数的几何特征,由高等数学知识可知,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：,(1)正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服
7、从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布,(2).正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的,(3).正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,密度函数的验证,正态分布的分布函数,原函数不是初等函数,正态分布下的概率计算,标准正态分布,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态密度函数的图形,标准正
8、分布度函数的图形,教材P351页上附表二列出了标准正态分布的分布函数值.,事实上,例9,解,(1),(2),证,一般正态分布的计算,因此,例10,解,(1),(2),例10,解,(1),(3),例11,解,(1)所求概率为,(2),例12,解,2.常见连续型随机变量的分布,小结,正态分布有极其广泛的实际背景,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等,都服从或近似服从正态分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量.,3.正态分布是概率论中最重要的分布,另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.,二项分布向正态分布的转换,Born:30 Apr.1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb.1855 in Gttingen,Hanover(now Germany),Carl Friedrich Gauss,高斯资料,
