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1、,几何与代数,关秀翠,东南大学数学系,习题解析第四章,教学内容和学时分配,第四章 n维向量,能由向量组 I:1,s线性表示,r(A)=r(A,),Ax=有解.,L(1,2,s)=R(A),1,2,s与1,2,t等价,L(1,2,s)=L(1,2,t),r(A)=r(A,B)=r(B),矩阵方程 AX=B,BY=A都有解.,1,t能由1,s线性表示 AX=B 有解.,等价的向量组(相同个数)构成的矩阵必等价(相抵).,一、向量组的线性表示与等价,反之不成立,x11+x22+xss=只在x1=x2=xs=0时成立.,(1,s)x=只有零解.,(1,s)x=Ax=有非零解,向量组1,s-1,s线性相
2、关,向量组1,s-1,s 线性无关,r(A)s,r(A)=s=向量个数,某个向量i可由其余的向量线性表示.,共线共面的推广,唯一表示定理:I l.i.,I,l.d.可由I 唯一线性表示.,Th4.3 大向量组由小向量组线性表示大向量组l.d.,Th4.5.若I可由II线性表示,则秩(I)秩(II);且这两个向量组等价 秩(I)=秩(II).,反之不成立,二、向量组的线性相关与线性无关,三、向量组的极大无关组,(i)I0l.i.;(ii)II0,I0,l.d.I可由I0线性表示,命题：如果r(1,2,s)=r,则1,2,s中任意r个线性无关的向量均为1,2,s的极大无关组.,极大无关组不唯一，任
3、两个极大无关组都等价.,向量空间V的基为向量组V中的极大无关组.,V的维数为向量组的秩.,齐次线性方程组的解空间V=xRn|Ax=0的基础解系为向量组V的极大无关组,V的维数为nr(A).,四、向量空间,V Rn,对加法数乘封闭,Rn本身,e1,e2,en,n,零空间,无,0,齐次线性方程组的解空间xRn|Ax=,ARmn,Ax=的基础解系,n r(A),生成子空间L(1,s)=k11+kss|k1,ksR,1,s的极大无关组,1,s的秩,A的秩,A的列向量组的极大无关组,矩阵A的列空间,即L(A1,A2,An),n r(A),Ax=的基础解系,A的秩,A的列向量组的极大无关组,A的核空间或零
4、空间K(A)=xRn|Ax=,A的值域R(A)=Ax|xRn=L(A1,A2,An),五、向量的内积,向量空间基和维数,一.内积和正交性,二.标准正交基和Schmidt正交化方法,线性相关,共线共面,基,直角坐标系,标准正交基,维数,仿射坐标系,三.正交矩阵,维数,将l.i.向量化为标准正交向量组,Q(QT)正交QTQ=E Q1=QT Q列(行)向量组标准正交,基础解系本质是解向量组的极大无关组,维数为n-r(A),r(A,b)=r(A)+1 Ax=b无解b不能由A的列向量组线性表示直线(或平面)间无公共点;(2)r(A,b)=r(A)=n Ax=b有唯一解 b可由A的列向量组唯一地线性表示
5、直线(或平面)间有唯一公共点;(3)r(A,b)=r(A)n Ax=b有无穷多解,且通解中含有nr(A)个自由变量,Ax=0的基础解系有nr(A)个解向量b可由A的列向量组线性表示,但表示方式不唯一 直线(或平面)重合或平面交于一条直线.,x=0+k11+knrnr.,六.线性方程组的解的结构,齐次线性方程组的基础解系,非齐次线性方程组的一般解,作业中的问题：,作业中的问题,证明一组向量线性无关时，最好不要假设它们线性相关，再令线性组合等于0；而是直接令线性组合等于0，再证明所有的组合系数都等于0.,将向量组写成矩阵时，要事先说明向量是列向量还是行向量，并注意区分向量组等价及矩阵等价.,第四章
6、 n维向量,A成立的充要条件是B成立.,即A成立 当且仅当 B成立.,即A成立 B成立.,既要证明必要性“”，又要证明充分性“”,8.设a,b为参数,讨论向量组 的秩;并问a,b为何值时,向量组线性无关？,解:令,A中含有一个二阶非零子式,r(A)2,当a=0或b=1/3时,r(A)=2.,当a0且b 1/3时,r(A)=3,向量组线性无关.,习题解析,第二章 n维向量,11.设1,2,s线性均为n维向量,1=1,2=1+2,3=1+2+3,s=1+2+s,证明：1,2,s线性无关 1,2,s线性无关.,证1:,第二章 n维向量,设1,2,s线性无关.,则 k11+k2(1+2)+ks(1+2
7、+s)=.,习题解析,证明充分性:,设 k11+k22+kss=.,即(k1+ks)1+(k2+ks)2+kss=.,因为1,2,s线性无关.,所以1,2,s线性无关.,11.设1,2,s线性均为n维向量,1=1,2=1+2,3=1+2+3,s=1+2+s,证明：1,2,s线性无关 1,2,s线性无关.,证1:,第二章 n维向量,所以 1,2,s 线性无关.,习题解析,证明必要性:,设1,2,s线性无关.,因1,2,s可由1,2,s线性表示，,r(1,2,s)r(1,2,s),s,s=,所以 r(1,2,s)=s,11.设1,2,s线性均为n维向量,1=1,2=1+2,3=1+2+3,s=1+
8、2+s,证明：1,2,s线性无关 1,2,s线性无关.,证2:,第二章 n维向量,习题解析,由已知可得1=1,2=2 1,3=3 2,s=s s1,1,2,s 与1,2,s等价.,r(1,2,s)=r(1,2,s),1,2,s线性无关 1,2,s线性无关.,11.设1,2,s线性均为n维向量,1=1,2=1+2,3=1+2+3,s=1+2+s,证明：1,2,s线性无关 1,2,s线性无关.,证3:,第二章 n维向量,习题解析,(1,2,s)=(1,2,s),1,2,s线性无关 1,2,s线性无关.,因1,s可由1,s线性表示，,设 A=(1,s),B=(1,s),C,B=AC,|C|=1 0,
9、C 可逆.,A=BC1,故1,s可由1,s线性表示.,r(1,2,s)=r(1,2,s),设i为列向量.,12.已知1,2,3线性无关,问参数a,b为何值时向量组1=a1+b2,2=a2+b3,3=a3+b1线性无关?,解:,第二章 n维向量,设 A=(1,2,3),B=(1,2,3),1,2,3线性无关，,r(B)=r(1,2,3)=3,|C|=a3+b3 0,设1,2,3为n维列向量组.,则B=(a1+b2,a2+b3,a3+b1)=AC.,r(C)=3,|C|0,习题解析,a+b 0,3=r(B)r(C)3,13.已知能由向量组I:1,2,s线性表示,证明:表示方式唯一 1,2,s线性无
10、关.,证明1:(充分性),第二章 n维向量,习题解析,1,2,s线性无关,能由向量组1,2,s线性表示,由唯一表示定理知,能由I唯一的线性表示.,(必要性),=l11+l22+lss.,设 k11+k22+kss=0.,=(l1+k1)1+(l2+k2)2+(ls+ks)s.,因为的线性表示方式唯一.,k1=k2=ks=0.,1,2,s线性无关.,13.已知能由向量组I:1,2,s线性表示,证明:表示方式唯一 1,2,s线性无关.,证明2:,第二章 n维向量,习题解析,且1,2,s线性无关.,能由向量组I:1,2,s线性表示,设i为列向量，,A=(1,s).,r(A)=r(A,),Ax=有解.
11、,能由向量组I唯一线性表示,Ax=有唯一解.,r(A)=r(A,)=s,r(A)=r(A,),且Ax=只有零解,能由向量组I:1,2,s线性表示,14.设向量组1,s线性相关,10,证明存在某个j(2js)可由前j1个向量1,j1线性表示.,证明1:,第二章 n维向量,设kj(2js)是最后一个不为0的系数，,即k1,k2,kj1不全为0,kj 0,kj+1=ks=0,向量组1,2,s线性相关,设k11+k22+kjj+kss=0.,习题解析,则存在一组不全为0的数k1,k2,ks,使得,k11+k22+kjj=0,kj 0.,存在某个j可由前j1个向量1,j1线性表示.,证明2:(反证法),
12、第二章 n维向量,则ks=0，,k11=0,假设错误，命题成立.,设任意j(2js)都不能由前j1个向量1,2,j1线性表示.,设k11+k22+ks1s1+kss=0.,同理,ks1=k2=0.,因为 1 0，,k1=0,1,2,s线性无关,与已知矛盾.,习题解析,则s都不能由前s1个向量1,2,s1线性表示.,14.设向量组1,s线性相关,10,证明存在某个j(2js)可由前j1个向量1,j1线性表示.,第三章 矩阵的相抵变换和秩线性方程组,3.4 线性方程组解的结构,证明1：,17.设向量组1,s线性无关,j=1,2,s,记A=(aij)ss.证明:1,2,s线性无关 A可逆.,j=1,
13、2,s,设 B=(1,s),C=(1,s),B=CA,必要性：设1,s线性无关,r(A),s,则s=r(B),r(A)=s,A可逆,充分性：设A可逆,C=BA1,故1,s可由1,s线性表示.,两向量组等价.,r(1,s)=s,则1,s线性无关.,设i为列向量.,第三章 矩阵的相抵变换和秩线性方程组,3.4 线性方程组解的结构,证明2：,17.设向量组1,s线性无关,j=1,2,s,记A=(aij)ss.证明:1,2,s线性无关 A可逆.,设 k11+k22+kss=.,1,s线性无关,A=(aij)Rss可逆,只有零解,k1=ks=0.,1,2,s线性无关,证明：,A正交,28.设A是n阶正交阵，证明：(1)|A|=1.(2)若|A|=1，则|E+A|=0.,|AAT|=|E|,|A|2=,|A|AT|=,=1.,|A|=1.,(2),
