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1、1,3.1 随机过程基本概念3.2 平稳随机过程3.3 高斯随机过程3.4 平稳随机过程通过线性系统3.5 窄带随机过程3.6 正弦波加窄带高斯噪声3.7 高斯白噪声和带限白噪声,第3章 随机过程,2,3.1 随机过程基本概念,一、随机过程(t)的定义：随机样本函数的总体；不同时刻随机变量的集合。,3,3.1 随机过程基本概念,二、随机过程的分布函数随机过程(t)的一维分布函数：随机过程(t)的一维概率密度函数：,4,3.1 随机过程基本概念,随机过程(t)的二维分布函数：随机过程(t)的二维概率密度函数：,5,3.1 随机过程基本概念,随机过程(t)的任意n维分布函数：随机过程(t)的任意n
2、维概率密度函数：,6,3.1 随机过程基本概念,三、随机过程的数字特征1、均值,a(t),7,3.1 随机过程基本概念,三、随机过程的数字特征2、方差,均方值,均值平方,8,3.1 随机过程基本概念,三、随机过程的数字特征3、相关函数4、协方差函数,9,3.2 平稳随机过程,一、定义、性质与特点：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有,则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。,10,3.2 平稳随机过程,性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：而二维分布函数
3、只与时间间隔=t2 t1有关：,11,3.2 平稳随机过程,数字特征：特点：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。具有以上两个特点称为广义平稳随机过程。,12,3.2 平稳随机过程,二、各态历经性：设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），若,即：过程的数字特征（统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,13,3.2 平稳随机过程,例3-1 设一个随机相位的正弦波为,其中，A和c均为常数；是在(0,2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。解：(1)先求(t)的统计平均值：数学期望,14,3.2 平稳随机过程,自相关函数,
4、15,3.2 平稳随机过程,可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。(2)求(t)的时间平均值,16,3.2 平稳随机过程,17,3.2 平稳随机过程,比较统计平均与时间平均，可见：结论：随机相位余弦波是各态历经的。,18,3.2 平稳随机过程,三、自相关函数：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：(t)的平均功率 的偶函数 R()的上界，即最大值。(t)的直流功率(t)的交流功率,19,3.2 平稳随机过程,四、功率谱密度：定义：,20,3.2 平稳随机过程,功率谱密度的计算：维纳-辛钦关系自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。
5、记为,推论,21,3.2 平稳随机过程,对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即有,22,3.2 平稳随机过程,例3-2求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。解：在例3-1中，已经求出(t)的相关函数为由维纳-辛钦关系，以及得到,23,3.3 高斯（正态）随机过程,一、定义若任意n维概率密度函数可表示为,则称该随机过程为高斯（正态）随机过程。式中,24,3.3 高斯（正态）随机过程,B为归一化协方差矩阵的行列式，即 其中,25,3.3 高斯（正态）随机过程,二、
6、重要性质1、n维概率密度函数由数字特征确定；2、广义平稳的高斯过程也是严平稳的；3、若不同时刻的取值是不相关的，则也是互相独立的；4、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。,26,3.3 高斯（正态）随机过程,三、高斯随机变量高斯过程在任一时刻上是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数为,27,3.3 高斯（正态）随机过程,性质：f(x)对称于直线 x=a a表示分布中心，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a=0和=1时，称为标准化的正态分布。,28,3.3 高斯（正态）随机过程,计算：正态分布函数
7、令 得,29,3.3 高斯（正态）随机过程,用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：当x 2时，,30,3.3 高斯（正态）随机过程,用Q函数表示正态分布函数：Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：Q函数和分布函数F(x)的关系：,31,3.4 平稳随机过程通过线性系统,1、输出过程o(t)的均值 由于设输入过程是平稳的，则有可见输出过程的均值是常数。,32,3.4 平稳随机过程通过线性系统,2、输出过程o(t)的自相关函数：根据输入过程的平稳性，有于是,33,3.4 平稳随机过程通过线性系统,3、输出过程o(t)的功率谱密度令=+-，代入上式，得到即,34,3.4 平稳随机过程通过线
8、性系统,输出过程o(t)的概率分布如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。,35,3.5 窄带随机过程,定义：若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。功率谱密度图,36,3.5 窄带随机过程,波形：窄带随机过程的表示：,37,3.5 窄带随机过程,式中(t)的同相分量(t)的正交分量(t)的统计特性由a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。,38,3.5 窄带随机过程,3.5
9、.1 c(t)和s(t)的统计特性数学期望：对(t)求数学期望得到 因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E(t)=0，所以,39,3.5 窄带随机过程,(t)的自相关函数：因为(t)是平稳的，故有 这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。因此，若令 t=0，上式仍应成立，,40,3.5 窄带随机过程,它变为因与时间t无关，以下二式自然成立所以，上式变为,41,3.5 窄带随机过程,再令 t=/2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄带过程(t)是平稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的。进一步分析，下两式应同时成立，,42,3.5 窄带随机过程,故有同相分量c(t)和正交分量
10、s(t)具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到，表明Rsc()是 的奇函数，所以。因此，同一时刻的同相和正交分量是互相正交的。,43,3.5 窄带随机过程,将 代入 得即结论：(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。,44,3.5 窄带随机过程,根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到因为(t)是高斯过程，所以，c(t1)，s(t2)一定是高斯随机变量，从而c(t)、s(t)也是高斯过程。,45,3.5 窄带随机过程,根据 可知，c(t)与s(t)在=0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此c(t)与s(t)也是统计独立的。结论：一个均值为零的窄带平
11、稳高斯过程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。,46,3.5 窄带随机过程,3.5.2 a(t)和(t)的统计特性联合概率密度函数 f(a,)根据概率论知识有由可以求得,47,3.5 窄带随机过程,于是有式中 a 0,=(0 2),48,3.5 窄带随机过程,a的一维概率密度函数可见，a服从瑞利(Rayleigh)分布。,49,3.5 窄带随机过程,的一维概率密度函数可见，服从均匀分布。,50,3.5 窄带随机过程,结论一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的
12、一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即有,51,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的表示式式中,52,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：相位：包络的概率密度函数 f(z)由,53,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,根据zc，zs与z，之间的随机变量关系，求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数,54,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,然后求给定条件下的边际分布，即由于故有式中I0(x)第一类零阶修正贝塞尔函数,55,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,因此由上式可见，f(,z)与
13、无关，故称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。,56,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,讨论当信号很小时，即A 0时，上式中(Az/n2)很小，I0(Az/n2)1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。当(Az/n2)很大时，有这时上式近似为高斯分布，即,57,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,包络概率密度函数 f(z)曲线,58,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性,59,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,1、白噪声：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度或 单边功率谱密度式中 n0 正常数白噪声的自相关函数：,60,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪
14、声和其自相关函数的曲线,61,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪声的功率或,62,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,2、低通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。功率谱密度由于功率谱频带受限亦称为带限白噪声。自相关函数,63,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,功率谱密度和自相关函数曲线,64,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,3、带通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。功率谱密度,65,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,自相关函数平均功率,66,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线,
