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1、第二章 随机变量及其分布,一、随机变量,二、离散型随机变量的概率分布,三、随机变量的分布函数,四、连续型随机变量,五、随机变量函数的分布,下页,2.1 随机变量,例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验,观察发芽粒数.显然=0，1，20，用变量X表示发芽粒数，则X的所有可能取值为 0，1，20.,下页,例2.掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况.记1=正面朝上，2=反面朝上.,X也是定义在=1，2上的函数，是随机变量.,1.随机变量的定义,下页,定义 设随机试验 E 的样本空间为，如果对于每一个，都有唯一的一个实数X()与之对应，则称X()为随机变量，并简记为X.注意：1.X是定义在上的实
2、值、单值函数.2.因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率.3.随试验结果不同,X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不能确定取什么值.,2.用随机变量表示随机事件,例3.在灯泡寿命试验中，灯泡的寿命不低于1000小时可用随机变量X表示为X1000.例4.用随机变量X表示玉米穗位，则玉米穗位在100到120厘米之间可以表示为100X120.例5.正面朝上可以表示为X=1.一般地：X=k，X a，aXb表示一个随机事件.,下页,3.随机变量的类型,离散型随机变量 随机变量的可能取值仅为有限个或可列多个.非离散型随机变量 一般讨论：连续型随机变量.,
3、2.2 离散型随机变量的概率分布,定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1,x2,xk,X取各个值的概率为,P X=xk=pk,k=1,2,一、离散型随机变量X的概率分布的定义及性质,一般用下面的概率分布表来表示,则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布列(律).,下页,Pk0(k=1,2，)；,例1.已知随机变量的概率分布为,求常数a.,解：由概率分布的性质知,即 15a=1,解得,下页,分布列的性质,下页,例2.在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球.从中任取3个，求抽到红球数的概率分布.,解：用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0,1,2,3,且取每一个值的概率
4、分别为,X概率分布律为,例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,PX=0=(0.1)(0.1)=0.01,PX=1=2(0.9)(0.1)=0.18,PX=2=(0.9)(0.9)=0.81,解：用X表示两次独立投篮投中次数，则X所有可取的值为0、1、2.,X的概率分布律为,下页,二、几种常见的离散型随机变量的概率分布,1、0-1分布,定义 如果随机变量 X 只可能取0和1两个值,其概率分布为,即,下页,则称 X 服从0-1分布，记作 X B(1,p)(p为参数).,或,特别当 n=1时，二项分布为退化为0-1分布.,2、二项分布,显然,下页,则称 X
5、服从参数为 n，p的二项分布,记作XB(n,p).,定义 如果随机变量X的概率分布为,PX8=PX=8+P X=9+PX=10,例4.设鲁麦11号的发芽率为0.7，现播种10粒，求恰好8粒发芽的概率；不少于8粒发芽的概率；能发芽的概率.,下页,解:设X表示种子发芽的粒数,则X的所有可能取值为0,1,10,且 XB(10,0.7)，所求事件的概率为,PX=8,PX1=1-PX=0,解题要点：给出X的含义；指出X所服从的分布.,于是所求的概率为,例5.某人进行射击，其击中率为0.02,独立射击400次,试求击中的次数大于等于2的概率.,0.9972.,下页,解:将每次射击看成是一次贝努里试验，X表
6、示在400次射击中击中的次数，则XB(400，0.02)，其分布律为,3、泊松分布,则称X服从参数为l(l0)的泊松分布,记为 XP(l).,下页,定义 如果随机变量X的概率分布为,服从泊松分布的相关概率,可查表计算.泊松分布表的计算为,解：设X表示呼叫数，由题意知XP(3)，则,PX=2=PX 2PX 3=0.800850.57681=0.22404.,P X 6=1PX 6=10.08392=0.91608.,P X 6,呼叫次数不小于6；呼叫次数小于6；呼叫数恰好为2.,下页,例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3的泊松分布，求下列事件的概率:,若一人负责维修30台设备，
7、求发生故障不能及时维修的概率；若3人共同维修100台设备呢？需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？,解：设 X表示同时发生故障的台数，则XB(n,0.01)，由于n较大p较小，l=np适中,可用泊松分布作近似计算.,n=30，p=0.01，l=np=0.3，所求概率为,n=100，p=0.01，l=np=1,所求事件概率为,下页,例7.某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01.求下列事件的概率:,解：设配备M名工人.n=400，p=0.01，l=np=4，由题意PX M+10.02,由,查表得M+110，即 M9，需配备9名工人.,下页,若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率；若3人共同维修100台设备呢？需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？,例7.某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01.求下列事件的概率:,4、几何分布,定义 若X的概率分布为,则称X服从参数为p的几何分布.,若X表示一个无穷次贝努利试验序列中，事件A首次发生所需要的次数，则X服从参数为p的几何分布.,下页,作业：52-53页 2，4，6，8，11,结束,
