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1、向量代数、平面方程,编辑：孙学峰 制作：彭豪,习题课（3）,一、内容总结,1.向量的加法与数乘运算,运算律：交换、结合、分配,称为向量a在基本单位向量 i,j,k下的基本分解式或坐标表示式.ax、ay、az为坐标，分别是a在三坐标轴上的投影.,2.向量的分解,a=ax i+ay j+az k，b=bxi+by j+bz k,a b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a=(ax)i+(ay)j+(az)k,a=ax i+ay j+az k,若在三维空间中不建立直角坐标系，同样可研究向量的分解及向量的坐标运算。,设,为三个线性无关向量,a为任意向量，则存在唯一一组数x,y,z,
2、使得 a=x+y+z,3.数量积、向量积、混合积,设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz),则,a b=ax bx+ay by+az bz,a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)k,复习数量积、向量积、混合积的运算性质、几何意义、物理意义。,4.平面,建立平面方程的基本方法：点法式、截距式、一般式。点到平面的距离的向量式表达。平面之间的位置关系。,二、作业讲析,（练习册 P32 1.1）,五、已知PA=(2,-3,6)，PB=(-1,2,-2)，|PC|=，且PC平分APB，求向量PC。,B,P,A,C,D,
3、六、已知一向量的模为2，且与x轴和y轴的正向成等角，与z轴正向的夹角则是它们的两倍，求该向量。,解：依题意只需求出向量的方向角即可。可设它的三个方向角分别为,2,于是有,三、典型例题讲析,例1.设|a|=2,|b|=1,=.若向量m=a+b与向量n=a-b垂直,求.,解：mn=aa-ab+ba-bb=4+-2=5-2=0,故=2/5,例2.设a,b,c为不共线的三向量，那么它们能构成三角形a+b+c=0的充要条件是ab=bc=ca.,证：必要性:利用向量积的性质得（a+b+c)a=ba+ca=0,即ab=ca.,同理可证ab=bc.,充分性：由条件ab=bc=ca知，三向量a,b,c共面，,于
4、是有不全为0的1,2,3,使得1a+2b+3c=0,在上式两边与a,b作叉积得,2ab+3ac=0,1ab+3cb=0,1=2=3且非零。于是得a+b+c=0。,例3.设(ab)c=1,求(a+b)(b+c)(c+a).,解：(a+b)(b+c)(c+a)=(ab)+(ac)+(bb)+(bc)(c+a),=(ab)c+(ac)c+(bc)c+(ab)a+(ac)a+(bc)a,=(ab)c+0+0+0+0+(ab)c=2,例4.设a,b,c为两两正交的向量，且|a|=1,|b|=2，|c|=3.求向量d=a+2b+3c的长度。,解：dd=(a+2b+3c)(a+2b+3c）,=aa+2ab+
5、3ac+2ba+4bb+6bc+3ca+6cb+9cc,=12+422+932=98,|d|=,例5.设a,b是两个非零向量，|a|=2,=,=|a|cos=1,例6.求过y轴并和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离的平面方程。,解：所求平面过y轴，故可设其方程为Ax+Cz=0.,平面和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离，故有,于是A=-C或A=-3C，故所求平面方程为,x-z=0或3x-z=0,例7.证明平面1:2x-y+1=0,2:x+2y+z+1=0,3:3x+y+z+2=0属于同一平面束(相交于同一直线),并求束里经过点P(1,0,1)的平面方程。,解：显然1与2不平
6、行，过其交线的一切平面方程（除2外）均可表示为,2x-y+1+(x+2y+z+1)=0（1）,显然3是上述方程中取1的结果，即1、2、3属同一平面束。,将P(1,0,1)的坐标代入（1）式解得=-1,故所求平面方程为x-3y-z=0,例8.对于平面Ax+By+Cz+D=0，若规定法向量n=(A,B,C)所指一侧为平面的正侧，另一侧为负侧，那么D的符号就决定了原点在平面的侧位。试讨论之。,解：首先研究D的几何意义。,D=A(-x)+B(-y)+C(-z)=nMO=|n|MO|cos,当原点在平面正侧时,D0;在平面负侧时,D0.反之亦然。,例如平面x-y+z+1=0，则原点在平面的正侧。,M(x
7、,y,z),n,O(0,0,0),四、练习题,1.设m=2a+3b,n=3a-b,|a|=2|b|=1,=,求|mn|.2.向量x同时垂直于a=(2,3,1)和b=(1,-1,3),且与c=(2,0,2)的数量积为-10，求x.3.证明a=(-1,3,2),b=(2,-3,4),c=(-3,12,6)在同一平面上，并将c用a,b表示出来.4.证明：若三向量a,b,c不共面,d同时垂直于a,b,c,则d=0.5*.证明：(ab)c=(ac)b-(bc)a.6.已给平面,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,试用矩阵,的秩为条件，判断平面的相交、平行与重合。,7.求过 x 轴和点 M(1,2,3)的平面方程.,8.设平面 过点P(-1,0,1),Q(1,2,1)且与,平面1：x+y+z+1=0垂直，求平面(称为PQ到1的投影平面)的方程.,9*.四平面y-z=0,x-y=0,x+z-1=0,y=0围成一立体，求立体体积.10*.平面6x+y=6,2x+y=6,x+y+z=6,y=0,z=0围成一立体,画出该立体并求其体积.,练习题答案：,2.(-10,5,5)3.c=5a+b6.R(G)=2,相交；R(G)=1,R(G)=2,平行；R(G)=R(G)=1,重合7.3y-2z=08.x-y+1=09.1/1210.16,
