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1、推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法及其应用,第八章,第一节,一、平面点集、n维空间,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、平面点集 n维空间,1、平面点集,(2)平面点集的定义：坐标平面上具有某种性质的点的集合。,(1)坐标平面：二维坐标系的平面常称为坐标平面。可表示为：,问题：什么是邻域？,回忆,2.邻域,推广一下：,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平
2、面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,3.区域,(1)内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P:,若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点;,则称 P 为 E 的边界点.,的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的,边界点可能属于 E,也可能不属于 E.,(2)聚点,若对任意给定的,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点,则,称 P 是 E 的聚点.,所有聚点所成的点集成为 E 的导集.,（1）内点一定是聚点
3、；,说明：,（2）边界点可能是聚点；,例如，,(0,0)既是边界点也是聚点,（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,而,边界上的点都是聚点也都属于集合,孤立点：若 A E，且存在 0，使得,则称点 A 为集 E 的孤立点,E 的内部是什么？,边界？,聚点？,孤立点？,(3)开区域及闭区域,若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,若点集 E E,则称 E 为闭集；,若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的;,连通的开集称为开区域,简称区域;,。,E 的边界点的全体称为 E 的边界,
4、记作E;,例如，在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.,否则称为无,4.n 维空间,实数 x,数轴点.,数组(x,y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x,y)全体表示平面(二维空间),数组(x,y,z),空间点,(x,y,z)全体表示空间(三维空间),推广：,n 维数组(x1,x2,xn),全体称为 n 维空间，记为,回忆,n 元有序数组,的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标
5、.,记作,即,一个点,当所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O.,的距离记作,中点 a 的 邻域为,规定为,与零元 O 的距离为,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,1.二元函数,点集 D-定义域，,-值域.,x、y-自变量，z-因变量.,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,定义.设非空点集,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当 n=2 时,有二元函数,当 n=3 时,有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数,记作,2.多元函数,例 求 的定义域,解,所求定
6、义域为,3.二元函数 的图形,（如下页图）,设函数,的定义域为,D,，对于任意,取定的,，对应的函数值为,.,以,x,为横坐标、,y,为纵坐标、,z,为竖坐标在空,间就确定一点,，当,取遍,D,上一切,点时，得一个空间点集,，,这个点集称为二元函数的,图形,.,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,三、多元函数的极限,定义.设 n 元函数,点,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n=2 时,记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,二元函数的极限,几点说明：,（3）二元函数
7、的极限运算法则与一元函数类似,（4）二重极限的几何意义：,0，P0 的去心 邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,例1.设,求证：,证:,故,总有,要证,另解,解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,例2.讨论函数,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,二重极限,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在.,练习 求,解,14/24,解,其值随k的不同而变化，,故此极限不存在,确定二重极限不存在的方法：,多元函数的极限不存在
8、.,“无穷多个方向”不等于“任意方向”.,可利用方向性来判别,例 求,解,似曾相识,例,解,另解,四、多元函数的连续性,定义.设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称 n 元函数,连续.,连续,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区
9、域是指包含在定义域内的区域或闭区域,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,例 求极限,解,是多元初等函数。,定义域：,于是，,定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,例,解,另解,例,解,例 求极限,解,其中,例,解,由于极限存在应与,的方式和方向无关,而上述结果与 k 值有关,故原极限不存在.,2、多元函数极限的概念及求法,3、多元函数连续的概念；,4、多元初等函数的连续性；,（注意趋近方式的任意性）；,五、小结,1、多元函数的定义；,5、有界闭区域上连续函数的性质。,练 习 题,作业P11 5(2),(4),(6)6(2),(3),(5),(6)7，8.,
