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1、,一、向量的概念,二、向量的线性运算,向量的加减法,1,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,并按向量相加的三角形法则,可得n个向量想加的法则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作 向量,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量为所求的和.,2 向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算.,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除
2、以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,两个向量的平行关系,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,三、空间点的直角坐标,在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴,依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称坐标轴.它们构称一个空间直角坐标系,称为Oxyz坐标系或 坐标系.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正向通常符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以 角度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,三个坐标平面，三条坐标轴,空间的点,有序数组,特
3、殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,上式称为向量 的坐标分解式，,四、利用坐标作向量的线性运算,例3 求解以向量为未知元的线性方程组,其中,五、向量的模、方向角、投影,1。向量的模与两点间的距离公式,即得A、B两点间的距离,解 因为,解 因为,所以,于是,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,2.方向角与方向余弦,从而,类似可知,注意：,解,由关系式,3.向量在轴上的投影,性质1,性质3,性质2,解,于是,思考题一,在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,思考题二,已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,思考题三,思考题一解答,A:;B:;C:;D:;,思考题二解答,思考题三解答,对角线的长为,
