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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第2章 一元函数微分学,高等数学A,2.1 导数及微分,2.1.1 引例 2.1.2 导数概念2.1.3 导数的几何意义 2.1.4 可导与连续的关系2.1.5 求导数的例题 导数基本公式表,微积分学(calculus),以研究函数的微分和积分及其应用为主的一门,数学学科,微分学,1.物体运动时要求出它在任一时刻的速度和加速度,2.研究光线通过透镜的规律时要求出光滑曲线上给定,点的切线和法线,3.研究炮弹的射程时要求出函数的最大值和最小值,积分学,研究曲线的长度、物体的体积、曲面的面积、,以及天体间的引力等,2.1 导数及微分,2.1.1 引例,速度问
2、题,2.1.2 导数的概念,左右导数定义,区间上导函数定义,用导数定义求函数导数,用定义求导数习例1-5,2.1.3 导数的意义,物理意义,2.1.4 可导与连续的关系,2.1.5 求导数的例题导数基本公式,连续函数不存在导数举例,导数基本公式,内容小结,课堂思考与练习,导数及微分,一.引例,1.切线问题,割线的极限位置切线,割线 MN 的斜率为,2.速度问题,二、导数定义,(变化率),定义:,注意:,单侧导数,(左右导数),左导数:,右导数:,注：单侧导数经常在研究分段函数分段点和区间端点的 可导性时碰到,并且有结论:,(导函数),(2)速度是路程函数的导数,即,用定义求函数导数步骤:,用导
3、数定义求函数导数习例,解:,由导数定义得,解:,注意:,解:,解:,解:,切线方程:,法线方程:,几何意义,注意:,此时切线与x轴平行;,此时切线与x轴垂直.,(2)当导数存在时,一定能够找到切线;反之,当有切线时,不一定导数存在!,解:,割线的斜率为,所求点为(2,4).,物理意义,(非均匀变化量的瞬时变化率),变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,三、函数的可导性与连续性的关系,定理:,-可导必连续,证明:,注意:,解:,四、求导数的习例,解:,所以 f(x)在 x=
4、0 处连续.,解:,因为 f(x)在 x=1处连续,可得,由 f(x)在 x=1处可导,可得,解:,解:,连续函数不存在导数举例,例如,例如,例如,导数基本公式（已学求导公式）:,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,思考题,1函数,在连续点不可导有哪些类型？,2函数,在点,可导，是否函数在点,的某个邻域内每一点可导？,3符号,与,4.求哪些函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义？,在点,不可导，则曲线,在点,不存在切线。,5.若函数,是否有区别？,思考题参考答案,课堂练习：习题2.1第2题(1)(2)、第6题、第7题,练习参考答案,
