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1、,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第七节),第六节 第十二节,第六节 微分中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,1.引理（费马(Fermat)定理）,2.罗尔（Rolle）定理,则在(a,b)内至少存在一点，使 f()=0.,设函数 f(x)满足条件：,1)在闭区间 a,b上连续.,2)在开区间(a,b)内可导.,3)f(a)=f(b),物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,3、
2、罗尔定理还指出了这样的一个事实：,若 f(x)可导，则 f(x)=0 的任何两个实根之间，至少有 f(x)=0 的一个实根.,例2 不求导数,判断函数 f(x)=(x 1)(x 2)(x 3)的导数f(x)有几个零点及这些零点所在的范围.,4.注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,2)罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有一个不满足,其结论也可能成立.,例如,例3,例4,说明:,证明 在 内有根用零点定理.,证明 在 内有根用罗尔定理.,关键技巧:根据题意会知道如何构造辅助函数.,若希望用Rolle定理证明方程 f(x)=0 根的存在性，则构造的辅助函数F(
3、x)应满足关系式F(x)=f(x)及Rolle定理条件.,例5,例6,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,则在(a,b)内至少存在一点，使 f(b)f(a)=f()(ba)(a,b).,Lagrange 中值定理：设函数 f(x)满足条件：,1)在闭区间 a,b上连续.,2)在开区间(a,b)内可导.,作辅助函数,证明：,拉格朗日中值公式,几何解释:,例1,增量 y 的精确表达式,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值定理也称为微分中值定理,两个推论:,(1)设 f(x)在(a,b)内可导且 f(x)=0，则 f(x)=C.,(2)设 f(x
4、),g(x)在(a,b)内可导且 f(x)=g(x)，则 f(x)=g(x)C.,拉格朗日中值定理的应用:1、用 Lagrange 中值定理证明等式：,例2,说明,欲证 时,只需证在 I 上,练习：,2、用 Lagrange 中值定理证明不等式：,Step1 找出适当的函数 f(x)及区间,Step2 验证 f(x)满足Lagrange 中值定理条件,Step3 对 f()作适当放大或缩小，推出所要证的结果.,例4,例3,三、柯西(Cauchy)中值定理,则在(a,b)内至少存在一点，使,Cauchy 中值定理 设函数 f(x)、g(x)满足条件：,1)在闭区间 a,b上连续.,2)在开区间(
5、a,b)内可导且 g(x)0.,证,作辅助函数,几何解释:,注意:,弦的斜率,切线斜率,Lagrange 中值定理是Cauchy 中值定理 的特例.,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,例,分析:,结论可变形为,例,证,四、小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,费马引理,中值定理的数学符号简洁表述:P125,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,中值定理的数学符号简洁表述:P125,1.填空题,思考与练习,练 习 题,练习题
6、答案,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27
7、卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠基人之一,他为微,积分所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,例3,证,由零点定理,矛盾,即 为方程小于1的正实根.,例4,证,由Rolle定理知,说明:,证明 在 内有根用零点定理.,证明 在 内有根用罗尔定理.,推广:,例6,（即例5）,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,提示:,证：,不妨设,题设条件,可减弱为,例4,证,由上式得,解 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,证：,设辅助函数,即,证：,不妨设,5.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,解,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可导的条件；,以上两个都可说明问题.,
