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1、,$1不定积分的概念,2,前言,在第二章中讨论了求已知函数导数的问题,在科学技术领域 中,还常常遇到相反的问题.即已知一个函数的导数,如何求这个函数?如:一质点作非匀速直线运动的规律为s=s(t),则在时刻t的速度,反之,若已知质点运动的速度为v(t),如何求质点的运动规律s=s(t)?,这在数学上归结为求导运算的逆运算,称之为不定积分法.,$1不定积分的概念,3,例 S(t)是v(t)的原函数,定义Definition：,一、原函数与不定积分的概念 Concept of antiderivative and indefinite integral,$1不定积分的概念,4,原函数存在定理 th
2、eorem,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,$1不定积分的概念,5,关于原函数的说明：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若 和 都是 的原数，,则,（C 为某个常数）,证Proof,（C 为某个常数）,若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+c就是f(x)的全体原函数.(c为任意常数),$1不定积分的概念,6,不定积分的定义：Definition of indefinite integral：,$1不定积分的概念,7,例 Example 1 求,解,解,例 Example 2 求,$1不定积分的概念
3、,8,例 Example 3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解 solution,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,$1不定积分的概念,9,显然，求不定积分得到一积分曲线族.,Y=F(x)+C的图形是f(x)的全部积分曲线所构成的积分曲线族.,积分曲线族里所有积分曲线在点x处的切线彼此平行，斜率均为f(x).,如下图,$1不定积分的概念,10,x,y=F(x),$1不定积分的概念,11,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,由不定积分的定义，可知,如初等数学中:,与,与,arcsin(sinx)=x
4、(x为弧度），sin(arcsinx)=x(x为实数）,乘方与开方互逆,指数与对数互逆,$1不定积分的概念,12,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表 Fundamental integral table,$1不定积分的概念,13,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,，,$1不定积分的概念,14,(或-arccotx+C),(或-arccosx+C),$1不定积分的概念,15,$1不定积分的概念,16,例 Example 4 求积分,解,根据积分公式（2）,$1不定积分的概念,17,证Proof
5、,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、不定积分的性质 Properties of indefinite integral,$1不定积分的概念,18,例Example 5 求积分,解Solution,（性质（1）（2）称为线性性质，导数与积分都具有线性运算性质,但sin(x+y)sinx+siny,ln(x+y)lnx+lny都是非线性运算）,$1不定积分的概念,19,例 Example 6 求积分,解,$1不定积分的概念,20,例 Example 7 求积分,解,例 Example 8,$1不定积分的概念,21,例9.,例10.,$1不定积分的概念,22,例11.,例12
6、.,例13.,$1不定积分的概念,23,例14,例15,例16,（检验结果是否正确，只要把结果求导，看它是否等于被积函数即可。）,$1不定积分的概念,24,例 Example 17 求积分,解,说明Directions：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,$1不定积分的概念,25,解Solution,所求曲线方程为,$1不定积分的概念,26,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念,不定积分的概念,求微分与求积分的互逆关系,四、小结 Brief summary,$1不定积分的概念,27,思考题Consideration question,符号函数Sign function,在 内是否存在原函数？为什么？,$1不定积分的概念,28,思考题解答 Solution to consideration question,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,$1不定积分的概念,29,练习题Exercises,$1不定积分的概念,30,$1不定积分的概念,31,$1不定积分的概念,32,练习题答案 Answers exercises,$1不定积分的概念,33,
