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1、第四章 复利与年金,教学目的和要求：通过本章学习，学生应当掌握货币的时间价值、单利与复利、终值与现值以及年金等概念及其运用。本章的重点和难点：年金的计算及其运用。(本章的内容和管理会计有交叉，主要内容在管理会计中做讲解),第四章 复利与年金,本章内容：货币时间价值、单利与复利、终值与现值 第一节 货币的时间价值 第二节 单利和复利 第三节 年金,第一节 货币的时间价值,货币的时间价值含义 在日常生活中，你把100元存入银行一年，利率是5%,一年后，银行会给你105元，这5元就是利息，是银行付你的报酬，换句话说，今天的100元钱与一年后的105元等值。在本金、利率相同的情况下，存款时间越长，利息
2、就越多。同样，当你从银行借款时，你要向银行支付借款利息。企业若要发行债券，也要向债券持有者支付债券的利息。这里的银行借款利息和债券利息就是使用资金的成本。借用资金的时间越长，资金的成本就越高。,原因是：随着时间的推移，货币会增值。这就是货币的时间价值。注意：只有将货币作为资金使用才具有增值的功能。货币的时间价值，是指在正常情况下，两个不同时点的同等数额的货币，其价值是不相等的。换言之，是指货币随着时间的推延而形成的增值。也就是说，今年的100元钱与去年的100元钱，其价值是不相等的，年初的100元等于年末的105元。这一随时间变化的差额就是货币的时间价值。它有两种表示形式：绝对数形式（利息）和
3、相对数形式（利息率）。,货币的时间价值含义,上例中用绝对数表示的就是5元，用相对数表示的就是5%，即这个差额与本金的比率：5100=5%。货币的时间价值往往指随着时间的推延，货币能够增值。但要，作为一般等价物的货币本身并不具备这种增值能力，只有在货币作为资金使用，并与劳动要素相结合的条件下，才能使价值增值。货币的时间价值指的便是这种增值现象。,第二节 单利和复利,一、单利单利-是只对本金计息。计算前，先将符号定义如下：P本金（现值）；i利率；F终值；I-利息；n 期数或年数；A 每年等额支付或收到的款项；则：I=P i n,【例1】某人将1000元存入银行，银行存款年利率为10%，按单利计息，
4、5年后的本利和：利息100010%5500（元）本利和=1000+500=1500（元）可以看出，若按单利计息，各计息期的本金和利息都是相同的。二、复利 复利是根据本金和前期利息之和计算的利息，也说是不仅要计算本金的利息，还要计算利息的利息。复利俗称“利滚利”。续前例：,第一年利息:I1=100010%=100（元）第二年利息:I2=(1000+100)10%=110(元)第三年利息:I3=(1000+100+110)10%=121(元)第四年利息：I4=(1000+100+110+121)10%=133.1(元)第五年利息：I5=(1000+100+110+121+133.1)10%=146
5、.4(元),到期利息：I=100+110+121+133.1+146.4611(元）复利计算的利息比单利计息要多。,三、终值和现值,(一)终值到期值或本利和，是指一定期间后本金与利息的和。按计算方式不同：单利终值和复利终值。比较单利终值和复利终值计算，如果本金P，利率为i，见下表：,表4-1 单利终值与复利终值的计算,复利终值,复利终值是指按复利计息的一定时期的本利和。计算公式：FP（1i）n式中：P本金（现值）i利率 n计息期 F终值 其中（1i）n被称为复利终值系数或1元的复利终值，用符号（F/P，i，n）表示。见附表1。,例2 如果你想存入1000元，将来收回2000元，当年利率为10%
6、时，要存几年？F=P(1+i)n，即2000=1000(1+10%)n(1+10%)n=20001000=2查复利终值系数表，10%这一栏，查得期限为7年时，终值系数为1.94872，期限为8年的终值系数为2.14359。说明存储期在7至8年之间，可使将来收到的本利和为2000元。可用图4-1表示如下：内插法的运用 A B C(7，1.94872)(n，2)(8,，2.14359),应用等比公式，可求得n：同理，在已知本金（P）、终值（F）、期限（n）条件下，可求出预期的报酬率（i）。,(二)现值,现值指一定期间后，一定量的货币（终值）在现在的价值。单利现值和复利现值假定你想在将来得到一笔钱（
7、终值），按一定的利率，现在一次应存入多少钱呢？按单利计算，公式如下：单利现值公式：PF/1+ni若按复利计算，则公式是：,复利现值：是指按复利计算的将来一定时期达到预定金额现在需要的投入数。复利现值计算是复利终值计算的逆运算。从复利终值计算公式可知：P F/（1i）n F（1i）n其中（1i）n被称为复利现值系数或1元的复利现值，用符号（P/F，i，n）表示。见附表2。复利现值系数与复利终值系数互为倒数。,【例3】企业打算存入银行一笔钱，5年后 一次可取出本利和1000元，已知复利年利 率为6%，计算现在一次需存入银行多少钱？根据题意：F1000 i6%n5根据公式：P F（1i）n1000
8、0.747747（元）在P,F,i,n中，可已知其中三个，根据复利终值和现值系数表，用内插法求得另一个值。见教材例题3。又上例，若年利率8%，现在存入747元，几年后可一次取出1000元？,i=6%（P/F，6%，5）=0.747i=8%（P/F，8%，n）=0.747查表：n=5（P/F，8%，5）=0.681 n=3（P/F，8%，3）=0.794说明 3n5(5-n)/(0.681-0.747)=(5-3)/(0.681-0.794)n3.832 即：需要3年10个月,(三)名义利率与实际利率的关系 在以上讨论中，我们假定利率是年利率，并且每年按复利计息一次。但实际生活中，某些款项在1年
9、内不止计息一次，有些抵押借款每月或每季计息一次，有些债券半年计息一次。名义利率是指以1年为基础的利率。当利息在一年内要复利几次时，给出的年利率称为名义利率。实际利率是真正有效的利率，随每年复利次数而变。如果1年只计息一次，名义利率与实际利率相等。,如1年内复利m次，名义利率为r，则:实际利率i的公式：i(1r/m)m 1 1+i=(1r/m)m【例4】名义利率为6，本金1000元，每半年复利一次，5年后本利和是多少？实际利率i(16%2)2 16.09%第一种方法：F1000(16%2)101000(13%)10 1344第二种方法：F1000(16.09%)5 1344 答：5年以后本利和1
10、344元。,第三节 年金,1、年金概念年金是指在一定时期内，每隔相同时期收入或支出相当金额的款项2、年金特点（1）间隔相等。在一定时期内每隔一段时间就发生一次收款或付款业务。（2）金额相等。各期发生的款项在数额上相等。在现实经济生活中，分期等额形成或发生的各种偿债基金、折旧费、养老金、保险金、租金、等额分期收付款、零存整取、整存零取、债券利息、优先股股息、以及等额收回的投资额等，多属于年金的范畴。,3、年金分类：年金按收付的时间不同具体划分为：普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。(1)普通年金-凡收入或支出发生在每期期末的年金。(2)预付年金-凡收入或支出发生在每期期初的年金。(3)递
11、延年金-凡收入或支出发生在第一期以后某一时间的年金。(4)永续年金-凡无限期收入或支出的年金。,一、普通年金普通年金是指收入或支出发生在每期期末 的年金，又叫后付年金，用A表示。1、普通年金终值计算普通年金终值简称年金终值，记作FA。普通年金终值是将每期的金额按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，即复利终值之和，就是该年金终值。计算公式：FA A（1i）n1i其中（1i）n1/i被称为年金终值系数或一元的年金终值，用符号（FA/A，i，n）表示，附表3为年金终值系数表。,普通年金是后付年金，最后一期不 计息，因此，计息期为总期数减1。设某企业于每年年底在银行存款1元，连续存4年，按年利率i
12、计息，则第4年末该项年金的终值可图4-2所示：0 1 2 3 4 1（1+i）（1+i)2（1+i)3 1（1+i）（1+i)2 1（1+i）1终值计算如下：（FA/A,4,i）=1+（1+i）+（1+i）2+（1+i）3(1),将（1）式两边均乘（1+i），得：（FA/A，4，i）（1+i）=（1+i）+（1+i）2+（1+i）3+（1+i）4(2)（2）式减（1）式，得：(F/A,4,i)（1+i）-(F/A,4,i)=（1+i）4-1(F/A,4,i)（1+i-1）=（1+i）4-1,即1元的普通年金终值系数。表示利率为i时，1元普通年金在n期后的终值。,【例5】企业连续每年末存款100
13、0元，按10%的复利计息，第10年末可以一次取出本利和为多少？根据题意：年金A1000 期数n10 利率i10%则：FAA（1i）n1/i A（FA/A，10%，10）100015.93715937（元）,2、年偿债基金的计算年偿债基金又叫积累基金，是指已知年金终值FA，求年金A的过程，它是年金终值的逆运算，亦属于已知整取求零存的问题。根据年金终值公式可知：A FA（1i）n1/i FA（FA/A，i，n）该系数可用年金终值系数的倒数求出来。,【例6】企业准备在10年内每年末存入银行一笔钱，以便在第10年末归还一笔到期100万元的债务。如果存款的年利率为10%，请问每年末至少应存入银行多少资金
14、？据题意：FA100万元 i10%n10则年金:AFA（1i）n1/i FA（FA/A，10%，10）10015.9376.275万元答：每年末至少存入银行6.275万元。,3、普通年金现值计算普通年金现值简称年金现值，记作PA。普通年金现值是指每期后收（付）等额款项复利现值之和，计算公式：PA A 1（1i）ni 其中1（1i）n/i 被称为年金现值系数或一元的年金现值，用符号（PA/A，i，n）表示，附表4为年金现值系数表。,【例7】企业准备连续10年在每年末取出1000元，按10%的复利计息，问现在一次需支付的款项为多少？根据题意：A1000 n10 i10%则:PA A1（1i）n/i
15、 A（PA/A，10%，10）10006.1456145（元）答：现在一次需支付6145元。,4、年回收额的计算年回收额的计算是年金现值计算的逆运算，即已知年金现值PA，求年金A，也就是已知整存求零取的问题。根据年金现值公式可知：A PA 1（1i）n/i PA（PA/A，i，n）该系数可用年金现值系数倒数求出来。,【例8】企业准备投资100万元，该项目预 计有效年限为10年，若企业期望的报酬率为10%，计算企业至少每年末要从该项目中获得多少报酬才合算？据题意：PA 100万元 i10%n10则年金A PA 1（1i）n/i PA（PA/A，10%，10）1006.14516.274答：企业每
16、年末应获得16.274万元才合算。,二、预付年金 预付年金是指收入或支出发生在每期期初，也叫先付年金，记作A。1、预付年金终值计算 预付年金终值是指每期先收（付）等额款项复利终值之和。记作FA 预付年金终值计算和普通年金计算相比,差一个计息期，可以根据普通年金终值计算公式加以调整，所以，预付年金终值计算公式为：,预付年金终值计算公式为：FAA（1i）n1 1/i 1 A（FA/A，i，n1）1或 A（1i）n 1/i（1i）A（FA/A，i，n）（1i）即:n期的预付年金终值系数等于n+1期的普通年金终值系数减1。或等于n期的普通年金终值系数乘以1+i。,【例9】企业连续每年初存款1000元，
17、按10%的复利计息，第10年末可以一次取出本利和为多少？根据题意：A1000 n10 i10%则：FA A（FA/A，i，n1）1 1000（FA/A,10%,11）1 1000（18.531-1)17531（元）答：第10年末可取出17531元。,2、预付年金现值计算是指每期先收（付）等额款项复利现值之和。记作PA预付年金现值计算同样可以根据普通年金现值计算公式加以调整，预付年金现值计算公式为：PAA1（1i）(n1)/i 1 A（PA/A，i，n1）1或 A1（1i）n/i（1i）A（PA/A，i，n）（1i）即：n期的预付年金现值系数等于n1期的普通年金现值系数加1。或等于n期的普通年金
18、现值系数乘以1+i。,【例10】企业准备现在一次投入一笔资金，以后连续10年每年初可取得1000元，按10%的复利计息，问现在一次需支付的款项为多少？根据题意：A1000 n10 i10%则：PA A（PA/A，i，n1）+1 1000（PA/A,10%,9）+1 1000（5.759+1）6759（元）答：现在一次需支付6759元。,三、递延年金现值计算递延年金是指在第一期以后（从0期隔S期）才发生的年金，也叫延期年金，记作A。递延年金终值不受递延期的影响，计算方法与普通年金终值相同。递延年金现值有两种方法:(1)先算出普通年金现值（n-s)，再将其从递延期(s)按复利现值系数折算至现在；(
19、2)算出包括递延期在内的年金现值(n)，减去按递延期计算的年金现值(s)。即：,递延年金现值的计算公式：PA A1（1i）(ns)/i（1i）-s A(PA/A，i，ns)(P/F，i，s)或 A”1（1i）n/i 1（1i）s/i A(PA/A，i，n)(PA/A，i，s),【例11】企业准备现在一次投入一笔资金，从第4年末每年取出1000元至第10年，按10%的复利计息，问现在一次需支付的款项为多少？据题意：A”1000 n10 s3 i10%PA A1(1i)n/i-1(1i)s/i A(PA/A,10%,10)(PA/A,10%,3)1000(6.1452.487)3658或A1（1i
20、）(ns)/i（1i）s A(PA/A，10%，7)(P/F，10%，3)10004.8680.7513656答：现在一次需支付3656元。,四、永续年金现值的计算永续年金是指无限期等额支付的特种年金,即当n趋近时的普通年金。如存本取息、土地使用权收入。由于永续年金没有终点，故不存在终值问题，只计算现值。当n 时，(1i)n 的极限为零，则年金现值系数公式：（PA/A,n,i)=1-(1+i)-n/i 可写成：（PA/A,n,i)=1/i,永续年金现值公式：PAA1/i【例12】企业持有某公司的股票每年股利收益为10万元，假定企业不准备在近期转让该股票，对该项股票投资进行估价。（已知折现率10%）根据题意：A10 i10%PA A 1/i101/10%100万元即：企业现在需要投资100万元。,
