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1、1.2 随机事件,太原理工大学 数学学院,1.2.1 随机试验,自然界和社会上所观察到的现象大体分为,人们在生产实践和科学实验中发现，自然,两类：,必然现象或决定性现象；,必然发生或必然不发生的现象，称之为必,一类是事前可以预料的，即在一定条件下,另一类是事前不可预料的，即在相同条件,下重复进行观察或试验时，有时出现有时,不出现的现象，称之为偶然现象或随机现象。,人们发现随机现象在大量重复试验或观察,称为统计规律性。,复实验下随机现象发生的频率具有稳定性,下它的结果呈现出某种规律性，即大量重,通常，我们把对自然现象的观察或进行一,次试验，统称为一个实验。,况。,现的情况。,4的球，从袋中任取一
2、球后，不放回袋中，,例一 实验 为掷一枚均匀的硬币，观察,例二 实验 为掷一枚骰子，观察点数出,例三 实验 为一袋中装有编号1、2、3、,正面（有国徽的一面），反面 出现的情,再从中任取一球，观察两次取球的结果。,8：00-8：10接到的呼唤次数。,各异，但是它们有着共同的特点。例如实,上面所举的 5 个实验例子，尽管内容,测试它的寿命。,例四 实验 为记录某电话交换台在早,例五 实验 为从一批灯泡中任取一只，,验，它有两种结果，出现 或出现,接到的呼唤次数可能为0或1或2，,个实验可以在相同条件下重复进行。再如,但在实验之前不能确定会有几次呼唤，这,试之前不能确定它的寿命有多长，这个实,行。
3、又如实验，在某天早8：008：10,实验 我们知道灯泡的寿命 但在测,，这个实验可以在相同的条件下重复进,但在抛掷之前不能确定出现 还是出现,验也可以在相同条件下重复进行，实验的,结果事前是不能确定的。以后我们所说的,所有可能发生的结果是已知的，但每次的,实验都是指随机实验。,大小。例如掷硬币，现有的力学系统的确,只关注随机实验的结果及其发生的可能性,概率论不研究随机现象形成的原因，,定性理论及最先进的测量技术远不足以告,诉我们哪个面朝上。另外，随机现象也是,抛的足够高，硬币是均匀且是正反面。这,有条件的。如掷硬币，要求地面足够硬，,样经过大量重复试验或观察下它的结果才,随机事件（简称事件）是
4、概率论中的,1.2.2 样本空间与事件,会呈现出统计规律性。,一个基本概念，也是随机现象在某方面的,具体表现和描述。,为了借助集合论的概念描述随机事件，,都是相应的实验结果。,在 中，“交换台的接到的呼唤次数为6”；,在 中，“测得灯泡的寿命为1200小时”等,能再分的结果，叫做 的基本结果。,需引入样本空间的概念。随机实验 中不,例如，在 中，“出现”、“出现 T”,值得注意的是，一个实验结果是否为,对的。例如在 中，若考虑的是灯泡寿,基本结果是相对于实验目的而言，不是绝,命的长短，那么基本结果为“灯泡的寿命,若按寿命取值的大小将灯泡分为优质品、,”，故有不可数无穷多个基本结果。,即“取得灯
5、泡为优质品”，“取得灯泡为合格品”,合格品、或次品，那么就只有三个基本结,“取得灯泡为次品”。,样本空间，记作.中的元素就是实验,作,例如，在 中，基本结果有两个，,对于一个随机实验，把 中的所有,结果所组成的集合称为 的基本空间或,的基本结果，基本结果也称样本点，记,即“出现”、“出现”，所以样本空间中含,有两个样本点，“出现”，“出现”，,基本结果，则由所有基本结果组成的集合,样本空间 为,就是 的样本空间。,在 中，由于两次取球的标号不能重复,按排列知识共有 种取球的结果，所,在 中，若以 表示“出现 点”这个,穷多个样本点，即,以在 中有十二个基本结果。故其样本,空间 中含有12个样本
6、点，即,在 中，若以 表示基本结果“交换台接,接到的呼唤次数为”，则 中含有可数无,不可数无穷多个样本点，即,虑取得灯泡的优劣，则样本空间可取为,同样应当注意的是，样本空间的元素取决,于实验目的。例如，在 中，如果只考,在 中，若以 表示基本结果“任取,一只灯泡，测试其寿命为”，则 中含有,引入样本空间之后，事件均可看成是,表示。当事件中只含有一个样本点（基,本结果）时，称为基本事件。一般事件都,可由基本事件通过集合运算复合而成。例,样本空间的子集，一般用大写字母,为 的子集，即,如，在实验 中，表示“出现偶数点”，则,与 作为 的子集也可称为事件。易,见，每次实验中，必然发生，故称为必,然事
7、件。每次实验中 必然不发生，故称,称为 的逆事件，记为，显然 发生,本结果有一个出现时，称事件 发生。,在一次试验中，当且仅当 所含的基,由所有不属于 的样本点所组成的事件，,则 不发生。,为不可能事件。这两个事件都是确定性的,的随机事件。值得注意的是，对较复杂的,事件，我们为讨论方便，把它们当作特殊,之间的几种主要关系以及事件的运算。设,为研究事件的需要，下面介绍事件,1.2.3 事件的关系与运算,样本空间，并不是每一个 的子集都是事件.,实验 的样本空间为，,由事件发生的定义又知：,为事件，均为 的子集。,如果 那么 如果,对任一事件，总有,（1）若事件 发生必然导致 发生,，那么称 与
8、相等，记为,则称事件 为事件 的子事件，记为,事件，记为,为,（2）事件 与事件 至少有一个发,（3）事件 与事件 同时发生，这,一事件称为事件 与事件 的积事件，记,这一事件称为事件 与事件 的差事件，,（4）事件 发生而事件 不发生，,生，这一事件称为事件 与事件 的和,组事件两两互斥。对于一组两两互斥的事,记为 与 的差事件，,把和事件 记作 如果一组事件,中任意两个都互斥，那么称这,件，通常把事件 记为,则称 与 为互斥事件或互不相容事件,记为 对于互斥事件、，可以,（5）若事件 与事件 不能同时发生，,法则是相同的，具体见1.1节集合的运算法则,可见，事件的运算法则与集合的运算,一个
9、较复杂的事件可以通过事件的运,根据具体问题的需要恰当地选择一种表示,算法则表示成许多种等价的形式，因此可,形式，这在概率论中非常有用。比如“与,至少发生一个”这一事件可以表示成,则是两个互斥事件的和事件。,也可以表示成，这两个事件是相,等的，在形式上简单，而,例6 设 是三个事件，则,（1）“发生而 不发生”可表示为,（2）“与 发生而 不发生”表示为,可表示为,例7 向指定目标射击三枪，分别用,（1）只有第一枪击中；,（2）至少有一枪击中；,表示第一、第二、第三枪击中目,标，试用 表示以下事件：,（3）“三个事件至少发生两个”,（3）恰好有一枪击中；,（5）三枪都未击中；,（4）至少有两枪击中；,解（1）只有第一枪击中，说明,（2）至少有一枪击中，即,发生，而 都不发生，可表示为,至少有一个发生，可表示为,（3）恰好有一枪击中可表示为,（4）至少有两枪击中可表示为,（5）三枪都未击中可表示为,
