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1、第5篇 量子论,第十七章,量子力学基础,2,deBroglie德布罗易,Born玻恩,Heisenberg海森伯,Schrdinger薛定谔,Dirac狄拉克,1927年在比利时布鲁塞尔举办的第五界索尔瓦会议,3,一切实物粒子也具有波粒二象性。,17-1 物质的波粒二象性,1.德布罗意波,（1924提出，1929年获诺贝尔奖）,德布罗意de Broglie，法(1892-1987),表现在传播过程中(干涉、衍射),表现在与物质相互作用中(光电效应、康普顿效应等),4,即一个质量为m、以速度 运动的粒子，就有一定的波长和频率v的波与之相应，并且满足下面的关系：,这种和实物粒子相联系的波称为德布罗
2、意波(也称物质波),其波长称为德布罗意波长。,实物粒子(m00):,讨论,德布罗意关系式通过h把粒子性和波动性联系起来。,5,若c,则,物质波数量级,宏观物体的小到实验难以测量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性。,解：,粒子的能量、动量、动能的关系：,6,解：,(1)U1=100V,这时电子的速度远小于光速c，其动量和动能的表达式均可用经典公式。,根据德布罗意关系,电子加速后获得的动能：,7,电子的物质波和X射线的波长相当。,(应考虑相对论效应),(2)U2=5104V，电子加速后获得的动能,根据德布罗意关系,所以观察电子的衍射(证明电子具有波动性)需要利用晶体。,8,例17-1 用德布罗意波
3、解释玻尔的角动量量子化条件。,解：,在有限的空间内能稳定存在的波必然是驻波，所以氢原子中电子的德布罗意波是驻波。,因此，氢原子中稳定的圆轨道的周长应为电子的德布罗意波波长的整数倍，即,9,r为轨道半径，为电子的德布罗意波波长，n为正整数。,这正是玻尔的角动量量子化条件。,10,2.德布罗意波的实验验证,1)1927年 戴维逊-革末电子衍射实验,实验发现:,加速电压U=54V,散射角=50时,探测器B中的电流有极大值。,11,根据德布罗意关系，电子在加速电压U=54V时，其德布罗意波长为：,根据x光衍射理论，,理论解释：,d是晶格常数d=0.091nm，=90-/2=65，k取1，得,可见，电子
4、具有波动性。,电子束在晶体表面衍射产生极大应满足布喇格公式，即,12,2)1927年 汤姆孙实验,用电子束直接穿过厚10-8m的多晶膜，得到电子衍射照片,13,3)其它实验,1929年 斯特恩氢分子衍射,1936年 中子束衍射,1961年 电子单缝、双缝、多缝衍射,1986年 证实固体中电子的波动性,单缝 双缝 三缝 四缝,14,4)粒子波动性的应用:,电子显微镜；,微观粒子的波粒二象性是得到实验证实的科学结论,电子衍射用于固体表面性质的研究;中子衍射用于研究含氢的晶体。,光学仪器的分辨本领：,15,例题17-2 用电子显微镜观察直径为0.02m的病毒，为了形成很清晰的像，准备让电子德布罗意波
5、长比病毒直径小1000倍，试问电子的加速电压是多少？,解：,根据题设，电子德布罗意波长,由德布罗意公式,由此可以算出电子的动能Ek为,即电子的加速电压至少是4kV。,16,3.物质波的统计解释,如何理解实物粒子的波粒二象性？实物粒子对应的波是一种什么波？,(1)波粒二象性中粒子性是基本的，而波动性是粒子间的相互作用产生的。,历史上有代表性的观点:,实验否定:电子一个个通过单缝，长时间积累也出现衍射效应.,17,(2)波粒二象性中波动性是基本的，而粒子是不同频率的波叠加而成的“波包”。,实验否定:介质中频率不同的波速不同，波包在运动时应发散，但未见电子“发胖”。,那么，实物粒子到底是波还是粒子？
6、如何理解实物粒子的波粒二象性？,显然，波和粒子在经典框架内无法统一！,18,玻恩在1926年提出：和实物粒子相联系的物质波是一种概率波。,玻恩M.Born(1882-1970)1954年获诺贝尔奖,光子理论：光 光子流,光栅衍射,波动理论：亮暗相间的条纹，,所以屏上条纹亮暗分布实际上就是光子数分布。,强度正比于振幅的平方。,19,光子数的多少正比于光子到达该处的概率，因此,亮纹：光子到达概率大；次亮纹：光子到达概率小；暗纹：光子到达概率为零。,光强分布 光子落点概率分布,即:,“光(子)波”概率波。,20,强度大：电子到达概率大；强度小：电子到达概率小,类比：电子单缝衍射,(1)由于波粒二象性
7、，微观粒子既不是经典概念的粒子；它也不是经典概念的波。(2)物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率。所以与实物粒子相联系的物质波概率波。,结论,21,普遍的说，在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处临近出现的概率成正比的，这就是德布罗意波的统计解释。,机械波和德布罗意波：,机械波是机械振动在空间的传播；,德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅平方表达了粒子出现的概率。,22,17-2 不确定关系,1.电子的单缝衍射,x=0,y=0,电子衍射前,物质波的统计诠释，完全摒弃于经典粒子的轨道概念，即排除了微观粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。,通过狭缝瞬间，有 x=a 其中a
8、缝宽。,x：电子x方向位置不确定量。,23,px=0,py=p,px=psin,电子衍射前：,电子动量在x方向上的不确定量为,对第一级衍射暗纹，有,对y和z分量,也有类似的关系,就得 xpx=h,ypy h，zpz h,若计及更高级次的衍射,应有 xpx h,24,海森堡WERNER HEISENBERG(1901-1976)1932年获诺贝尔奖,1927年,海森堡提出了不确定关系,即,微观粒子在任一方向上的位置与该方向上的动量不可能同时具有确定值。二者的不确定量满足,xpx h,x代表某一方向上的位置不确定量，px代表该方向上的动量不确定量。,因该关系式只做数量级的估计，故也可写为:,2.位
9、置和动量的不确定关系,经量子力学严密推导，得,25,(2)不确定关系是微观世界的一条客观规律,是波粒二象性的必然结果。,(3)不确定关系给出了宏观与微观物理世界的界限。,如果在所研究的问题中，不确定关系施加的限制不起作用，该问题可用经典力学处理，否则要用量子力学处理。,xpx h,讨论,(1)微观粒子运动过程中，其坐标的不确定量与该方向上动量分量的不确定量相互制约。,26,例题17-3 子弹质量m=0.01kg,枪口的直径为0.5cm，试用不确定关系计算子弹射出枪口时的横向速度。,按不确定关系:xpx h,则子弹横向速度的不确定量为,可见，子弹的横向速度所引起的运动方向的偏转是微不足道的。,解
10、：,枪口的直径就是子弹射出枪口时的横向位置不确定量:,即，不确定关系所施加的限制对宏观物体来说，实际上不起作用，所以宏观物体可以用经典理论来研究它的运动。,27,例题17-4 估算氢原子中电子速度的不确定量。,电子被束缚在原子内,位置的不确定量是 x=10-10m(原子的线度)由 xpx h，得,可见,不确定关系所施加的限制不能忽略不计。,解：,故研究氢原子问题不能用经典理论，只能用量子力学理论来处理。,28,例题17-5 显象管中电子运动速度为107m/s数量级，电子束横截面尺寸为10-4m数量级。求：电子横向速度的不确定量。,不能单纯以物理对象是否十分“微小”来判定该系统属于经典系统或量子
11、系统，而必须依据不确定关系来判定。,解：,电子横向位置的不确定量,由 xpx h，得电子横向速度的不确定量,可见,不确定关系所施加的限制可以忽略，所以对于电视显象管中的电子，只需用经典力学处理。,29,例题17-6 波长=5000的光沿x轴正方向传播，波长的不确定量为=10-3，求光子坐标的不确定量。,解:,按不确定关系:xpx h,则光子坐标的不确定量为,此时，必须考虑光的波动性。,光子的动量,30,例题17-7 用不确定关系，估算氢原子中可能有的最低能量。,解：不计原子核运动时，氢原子的能量就是原子中电子的能量,取,因,代入能量表达式,求极值,得到：,(玻尔半径),31,3.时间和能量的不
12、确定关系,设粒子处于某能量状态的时间不确定量为t(寿命)，则该状态能量的不确定程度E(能级自然宽度)与t也存在类似的不确定关系:,或,激发态E不稳定，其寿命为t：,32,用波长表示,33,思考题,1.德布罗意关系式是仅用于基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？,2.为什么粒子的波动性在日常观察中不甚明显？举例说明.,3.粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？微观粒子为什么不存在轨道的概念？,34,1.波函数,17-3 薛定谔方程,2.波函数的物理意义和性质,薛定谔ERWIN SCHRODINGER(1887-1961)1933年获诺贝尔奖,根据玻恩的统计解释,波函数的物理
13、意义在于波函数的强度,如何描述这种具有波粒二象性的微观粒子的运动？,在量子力学中用波函数(x,y,z,t)描述微观粒子状态。,在量子力学中波函数采用复数形式。,35,和实物粒子相联系的物质波是一种概率波。,光子理论：,光栅衍射,波动理论：,亮度正比于光子数。,亮度正比于振幅的平方。,德布罗意波的理论解释,光(子)波 概率波,物质波 概率波。,36,(x,y,z,t)2 表示粒子在t 时刻在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率，称为概率密度。(x,y,z,t)2 dxdydz,因为在整个空间内粒子出现的概率是1,所以有,表示粒子在t 时刻在(x,y,z)处的体积元dxdydz中出现的概率。,(
14、2)波函数的归一化条件,(1)波函数的物理意义,量子力学中波函数的振幅的平方与粒子到达该处的概率密度成正比。,37,(3)波函数的标准条件(自然条件),单值、有限、连续。,定出C，而C(x,y,z,t)为归一化波函数。,若波函数不满足归一化条件，,则令：,38,电子双缝干涉实验,39,根据德布罗意假设,能量为E、动量为p的自由粒子与一单色平面波相联系,其波函数表示为,3.自由粒子的波函数,这就是一维自由粒子的波函数,其中0表示振幅。,由波动理论可知,频率为v、波长为、沿x方向传播的单色平面波的波函数(波方程)为,40,(1).一维粒子的薛定谔方程,自由粒子的波函数,4.薛定谔方程,薛定谔方程是
15、波函数所遵从的方程-量子力学的基本方程，是描述微观粒子运动规律的动力学微分方程，它的地位如同经典力学中的牛顿方程一样。,对时间求一次导数,对坐标求二次导数,自由粒子的能量E和动量p的关系为,41,代入上式可得：,这就是一维自由粒子的薛定谔方程。,如果粒子在某势场中运动，则,代入上式可得：,这就是一维粒子的薛定谔方程。,42,(2).一般形式薛定谔方程,将一维薛定谔方程推广到三维，就得到一般形式薛定谔方程,一维,三维,引入算符,则薛定谔方程可以写为,(哈密顿算符),(拉普拉斯算符),43,(3).定态薛定谔方程,设微观体系的势能函数U不随时间变化，则用分离变量的方法求解薛定谔方程。,代入薛定谔方
16、程中,分离成两个方程：,=E,设波函数,44,方程(1)的解,方程(2)的解：势能函数U(x,y,z)确定,当粒子处于该波函数所描述的状态时，粒子的总能量E是常数，是不随时间变化的。所以这种波函数所描述的状态是稳定状态,简称定态。,=E,45,可见,概率密度不随时间而改变。,概率密度为,其中(x,y,z)称为定态波函数，其满足的方程（2）为定态薛定谔方程,46,薛定谔方程是薛定谔1926年提出的,它是量子力学的一条基本假设，其正确性是由从它推演出的大量理论结果与实验结果的一致性来证明的。,本课程只要求定态问题：,一维,三维,定态薛定谔方程是质量为m的微观粒子在恒定势场中运动的方程，它的每一个解
17、表示一个稳定状态，与这个解相应的常数E，就是该粒子在这个稳定状态下的能量。,47,17-4 一维无限深势阱,模型建立：是微观粒子在保守力场的作用下被局限于某区域中，并在该区域内可以自由运动的问题的简化模型。,本节以一维矩形无限深势阱中粒子的运动问题为例，求解定态薛定谔方程。,例如：金属中自由电子、原子核中的质子就处在这样的“势阱”之中。,求解问题的步骤,1.写出具体问题中势能函数U(x)的形式，代入一维定态薛定谔方程的一般形式，得出本问题中的薛定谔方程。,48,设质量为m的粒子,只能在0 xa的区域内自由运动,粒子在这种保守力场中的势能函数为,在阱外,粒子出现的概率为零,故,(x)=0,代入一
18、维定态薛定谔方程的一般形式：,49,在阱内,定态薛定谔方程为,2.求解定态波函数(0 x a),三种情况：,E0,50,式中,方程的通解为,由波函数连续：,A=0,51,由归一化条件：,于是得到阱内定态波函数：,得,52,3.讨论解的物理意义,能量是量子化的。,(n=1,2,),粒子的能量只能取不连续的值能量量子化。整数n叫做量子数。,是粒子的基态能级。,当n=1,53,粒子的物质波在阱内形成驻波。,注意：这与经典理论所得结果是不同的。因为根据经典理论,粒子的最低能量应该为零。E1又称为零点能。,可见波函数是沿x正向传播的单色平面波和沿x负向传播的单色平面波的叠加。,54,由,有,55,粒子在
19、势阱内的概率分布,按经典理论,在势阱内各处,粒子出现的概率是相同的。,量子力学给出粒子出现在势阱内各点的概率密度为,(n=1,2,),56,归一化条件，曲线下面积 相等。,能级越高，驻波波长越短，峰值数增多,57,例题17-8 设质量m的微观粒子在宽度为a的一维无限深方势阱中运动，其波函数为,求：(1)粒子的能量和动量；(2)概率密度最大的位置。,解(1),量子数n=3,粒子的能量:,又,58,(2)概率密度最大的位置。,粒子出现在势阱内各点的概率密度为,有极大值的充要条件是,解得,59,在阱内运动的粒子，其物质波形成驻波，应满足驻波条件,例题17-9 设质量m的微观粒子在宽度为a的一维无限深
20、方势中运动，根据驻波条件和德布罗意公式求出阱内粒子的能量。,解：,根据德布罗意公式:,阱内的粒子自由运动，所以,60,17-5 势垒贯穿,在经典力学中,只能在 I 区中运动。,模型：金属表面的势能墙不是无限高，而是有限值。,将势函数代入定态薛定谔方程：,求解方程，就可得到三个区域的波函数。,在量子力学中：,61,在区,在区:,式中,可见,粒子在三个区域都有出现的概率。,在 区,62,隧道效应,即使粒子EU0,粒子也会从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只有透射波。,量子力学的结论为:,I,III,II,隧道效应：总能量E小于势垒高度U0的粒子也有可能贯穿势垒，到达另侧。,63,扫描
21、隧道显微镜(STM)1986年获诺贝尔奖,隧道效应的应用,64,把48个Fe原子搬到Cu表面形成的“量子围栏”，围栏内形成了一个势阱，围栏中的电子形成驻波。,65,通过移走原子构成的图形,66,17-6 氢原子的量子力学处理,原子中的电子,其运动具有波粒二象性,必须应用量子力学才能正确描述电子在氢原子中的运动。,(与时间无关),三维定态薛定谔方程的应用,设原子核不动，电子在原子核的库仑场中运动,其势能为,设电子质量m，代入三维定态薛定谔方程,就得到描述电子状态的定态波函数满足的薛定谔方程：,67,由于U(r)呈球对称,显然取球坐标(r,)较方便，拉普拉斯算符在球坐标中,球坐标中电子的定态薛定谔
22、方程为,68,其中(r,)是球坐标中的波函数,可以分离变量：(r,)=R(r)()(),代入上面方程化简，得三个常微分方程:,69,1.主量子数和能量量子化 电子(或说是整个原子)的能量只能是,主量子数:n=1,2,这和玻尔理论的结果一致。,求解过程中因波函数要满足标准条件，出现了三个量子数n,l,ml,它们的物理意义及其与力学量的关系如下：,2.角量子数和角动量量子化,电子的角动量为,角量子数:l=0,1,2,(n-1),这一结论和玻尔人为的假设 有差别。,70,3.磁量子数和角动量空间量子化,磁量子数:ml=0,1,2,l,电子角动量在任意方向(例如z轴正向)的分量Lz满足下面的量子化条件
23、:,l=2,ml=0,1,2,例如：,电子角动量空间量子化已由塞曼效应所证实。,71,n一定，电子的能量确定；,l=0,1,2,n-1，l 值不同表明电子的角动量不同，电子轨道的形状可以不同；,ml=0,1,2,l，m值不同表明轨道的空间取向不同。,电子壳层:主量子数n相同的所有轨道(n个)；电子亚壳层:n相同，l不同的每一个轨道,一般用s、p、d、f表示l=0，1，2，3 各电子亚壳层。,72,4.电子的概率分布电子云,nl(r,)=Rnl(r)l()(),电子在核外空间出现的概率密度:,可见根据量子理论，氢原子中的电子是按一定的概率分布在原子核的周围。,描述电子运动状态的波函数可确定,电子
24、在点(r,)附近体积元dV=r2sin drd d中出现的概率为:,73,每瞬间氢原子核外电子照片的叠加,电子出现概率小处：雾点密度小,电子出现概率大处：雾点密度大,为了形象的描述电子在核外空间出现的概率分布,人们称其为“电子云”。,74,1)径向概率分布,电子在 r r+dr 球壳中出现的概率,电子在离核 r 不同处，出现的概率不等，,某些极大值与玻尔轨道半径，,说明玻尔理论只是量子结果不完全的近似。,75,2)角向概率分布,电子在某方向上立体角d内出现的概率对 z 轴旋转对称分布。,电子在(,)方向的立体角d=sin d d内出现的概率,76,17-7 多电子原子,1.斯特恩-盖拉赫实验（
25、1921年）,目的：研究角动量空间量子化,实验发现,在非均匀磁场中一些处于s 态的原子射线束，一束分为两束。它不能用“轨道”角动量的空间量子化来加以解释。,77,为了解释这一现象，1925年乌伦贝克和歌德斯密特提出电子自旋的大胆假设：,2.电子自旋,1)自旋角动量的大小为：,称为自旋量子数。,它只能取,2)自旋角动量在任意方向(例如z轴正向)的分量Sz只能取两个值：,认为电子不是点电荷，它除了有“轨道”运动以外，还有自旋运动，即每个电子本身都具有固有的内禀角动量称之为自旋角动量S。,78,ms称为自旋磁量子数,它决定自旋角动量的空间取向。,磁场中一些处于 s 态的原子射线束，虽然“轨道”角动量
26、为零，但由于自旋角动量与磁场的相互作用使其分裂成两条谱线。这就解释了斯特恩和盖拉赫的实验。,自旋角动量无经典对应，是一种量子效应。,79,(1)主量子数：n=1,2,3,。它决定了原子中电子的能量。(2)角量子数：l=0,1,2,(n-1)。它决定电子轨道运动的角动量的大小。(3)磁量子数：ml=0,1,2,l。它决定电子角动量z分量Lz的量子化，即空间量子化。,它决定电子自旋角动量的z分量Sz的量子化,也影响原子在外磁场中的能量。,(4)自旋磁量子数：,总结起来,氢原子中电子的运动状态应由四个量子数决定：,80,氢原子（类氢离子）：核外一个电子,3.多电子原子,(1)电子的能量不仅与主量子数
27、n有关,还与角量子数l有关,一般说来,主量子数n相同而角量子数l不同的电子,其能量稍有不同。,(2)电子在核外按能量大小有一定的分布。,其他元素的原子：核外有两个或两个以上的电子。,要从解薛定谔方程求出描写电子运动的波函数和能级是非常复杂和困难的。,采用近似的计算方法：可以证明,原子核外电子的运动状态仍由四个量子数来确定。,与氢原子不同之处:,81,1916年柯塞尔(W.Kossel)对多电子原子系统提出了壳层分布模型：主量子数n相同的电子分布在同一壳层上。n=1,2,3,4，5,6 K,L,M,N,O,P.,主量子数n相同而角量子数l不同的电子分布在不同的分壳层或支壳层上。,l=0,1,2,
28、3,4.s,p,d,f,g,如：n=3,l=0,1,2分别称为3s态,3p态,3d态,主量子数n愈小其相应的能级愈低。在同一壳层中,角量子数l愈小,其相应的能量愈低。,82,(1)泡利不相容原理 一个原子系统内，不能有两个或两个以上电子具有完全相同的量子态(n,l,ml,ms)。,利用泡利不相容原理可以计算各个壳层中可能占有的最多电子数。对给定的一个n,l=0,1,2,(n-1),共n个值；ml=0,1,2,l，共(2l+1)个值；,共2个值;,多电子原子系统中,核外电子在不同的壳层上的分布还要遵从下面两条基本原理：,83,(2l+1),2,=2n2,所以各壳层能容纳的最多电子数：n=1,2,
29、3,4，5,K L M N O 最多电子数：2 8 18 32 50.,量子态数为,对给定的一个n,84,对给定的一个l的分壳层,ml=0,1,2,l，共(2l+1)个值；,共2个值;,量子态数为 2(2l+1)所以各分壳层能容纳的最多电子数为 l=0,1,2,3,4 s p d f g 最多电子数：2 6 10 14 18,(2)能量最小原理 原子系统处在正常状态时,每个电子总是尽可能占有最低的能级。,85,电子在各壳层、分壳层的填充由左向右：,壳层的主量子数 n 愈小其相应能级愈低，在同一壳层中,角量子数l 愈小,其相应的能量愈低。,我国科学家总结出这样的规律:对于原子的外层电子,能级高低以(n+0.7l)确定。,所以一般情况下电子按n由小到大的次序填入各能级。,但在有些情况下，n较小的壳层尚未填满，n较大的壳层就开始有电子填入了。例如,4s态比 3d 态先填入电子。,86,例题11-10 在氢原子的L壳层中，电子可能具有的量子数(n,l,ml,ms)为(A)(1,0,0,)。(B)(2,1,-1,)。(C)(2,0,1,)。(D)(3,1,-1,)。,答：(B),
