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1、镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片,第十七章,旧量子论：在经典理论框架中引入量子假设,通过革新基本观念，解决各局部领域的问题。,量子力学：从基本属性上认识微观粒子的运动规律,17.1 物质波假设及其实验验证,一.德布罗意物质波假设,L.V.de Broglie1892 1987,法国物理学家，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出了物质波的假设。指出实物粒子具有“波粒二象性”及实验验证思路。获得1929年诺
2、贝尔物理奖。,1.基本思想：自然界是对称统一的，光与实物粒子(如电子、质子、中子等)也应该有波粒二象性。,整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？德布罗意,2.德布罗意假设,一个总能量为E,动量为 P 的实物粒子,相应的物质波的频率和波长满足：,一切实物粒子都有具有波粒二象性,德布罗意关系式,与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波.,物质波的概念可以成功地解释原子中令人困惑的轨道量子化条件。,光波的波速等于光子的运动速度，都等于c。而物质波的波速 u 并不等于相应
3、粒子的运动速度v；,即：对光波有,而物质波,注意：,例：速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为多少？,太小测不到！“宏观物体只表现出粒子性”,氢原子量子化条件：,表示：氢原子中的电子在定态轨道上运动时，其周长等于电子物质波波长的整数倍，即满足驻波条件。导师朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦看后称：“揭开了自然界巨大帷幕的一角”“看来疯狂，可真是站得住脚呢”经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，物理学家们纷纷做起了电子衍射实验。,例：电子经过电势差为U的电场加速，求其德布罗意波长。,解：电子在电场里加速所获得的动能,U=150V 时，=0.
4、1nm,X 射线波段,二、实验验证,1.戴维逊 革末实验（1927年）,根据德布罗意理论：,固定，改变U，I如何变化？若电子只具有粒子性，电压增大，电子速度增大，单位时间内射到晶面上的电子数增多，电流应该单调增大。,电子衍射实验经电压加速后，波长为：,实验结果与布拉格公式:（d为晶面间距，K为整数）能很好地对应。当入射波长满足上式时，出现衍射峰值。,但电子衍射的实验结果，电流强度不是随着电压的增大而单调增加，而是显示出有规律的选择性。如图所示：,矛盾！,可见，电压改变，则波长改变。当波长满足布拉格公式时，出现峰值。戴维逊革末实验证实了电子具有波动性，也证明了德布罗意实物粒子也具有波粒二相性的假
5、设是正确的。,（1927）电子束穿过多晶片的衍射实验,多晶 铝箔,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象,2、G.P.汤姆逊,3、约恩逊（1961）,单缝衍射,双缝衍射,三缝衍射,四缝衍射,戴维逊（美.18811958）和汤姆逊（英.18921975）共同获得1937年诺贝尔物理奖。,三、应用,1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜（磁聚焦）;1981年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜,获1986年Nobel物理学奖。,17.2 微观粒子的不确定关系,一、几个典型实验,1.子弹实验,子弹总是整颗到达，且有明确的轨道，打开两孔的效应是单独打开每孔效应之和：P12 P1P2，不
6、呈现干涉现象。,子弹是经典粒子,2.水波实验,y有明确的物理意义,经典波,3.光子实验,粒子性光子的整体性，波动性可叠加性,波粒二象性,奇异的结果：本是一个个粒子，但它落到屏上哪一点确是随机的。只能估计它到达某点可能性（概率）有多大。,4.电子实验,实物粒子的二象性就统一在“概率波”上。,p1,p2,p12,二、不确定关系,1.位置与动量的不确定性关系,海森堡（）1901-1976 德国理论物理学家。他在1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，在26岁时提出的不确定关系和玻恩的波函数，共同奠定了量子力学的基础。为此，他于1932年获诺贝尔物理学奖。,1927年，海森堡提出：如果用x表示一个
7、粒子在x方向上位置的不确定量（不确定范围），用px代表沿x方向的动量的不确定量，那么它们的乘积有一个下限，即,海森堡不确定性关系,例：原子线度为10-10m,计算原子中电子速度的不确定量。,解：,Px=m vx,按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度v 106 ms-1。,v与其不确定量的数量级基本一样，v 没有意义了！粒子的轨道概念不适用！,原子中电子的运动呈现明显的波动性，受不确定原理的制约，是微观粒子。,+,M,m,显象管中的电子加速电压为10kV，电子枪直径为0.1mm。计算电子出枪后的横向速度不确定量及速度。,例：,解：,对显象管中的电子不确定原理仍然成立，但其作用可忽略，即电子的波
8、动性可忽略。显象管中的电子具有明确的速度和轨道，是经典粒子。,在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。,练习：设子弹质量为0.01kg，枪口直径为0.5cm，试分析不确定原理（子弹的波粒二象性）对射击瞄准的影响。,横向速度的不确定度为,解:,它远远小于子弹从枪口射出时每秒几百米的速度，因此对射击瞄准没有任何实际的影响。,例：氦氖激光器发光波长，谱线宽度,，求当这种光子沿 x 方向传播时，它的 x 坐标的不确定量多大？,这种光子的动量（波长）相当地确定，其坐标就是非常地不确定。也就是说：单色性越好，波列长度越长。,取正,解：,对于微观粒子，牛顿方程已不适用。,一、波函数及其统计解释,一列沿 x 轴正
9、向传播的频率为 的平面简谐波:,17.3 波函数 薛定谔方程,1.平面简谐波的波函数,用复指数形式表示：,波的强度,取复数实部,微观粒子的运动状态（波粒二象性）,薛定谔方程,描述微观粒子运动的基本方程,波函数,解,2.一维自由粒子的波函数,一个沿x方向运动的自由粒子有能量E和动量P。对应的德布罗意波具有频率和波长：,波函数可以写成,波的强度,其中,称为振幅函数，也叫波函数。,振幅,3.波函数的统计意义,1925年，薛定谔提出用波函数 来描述微观粒子的状态。,其中 表示t 时刻粒子出现在空间（x,y,z）附近单位体积内的概率，称为概率密度。,1926年玻恩对波函数的物理意义做了统计解释。他认为：
10、微观粒子t时刻在空间某点（x,y,z）附近一个小体积元 dV=dxdydz 中出现的概率：,物质波的波函数本身并没有物理意义，其模方才表示概率密度。玻恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，获得了1954年的诺贝尔物理学奖。,4.波函数满足的条件,标准条件：波函数应该是有限、单值、连续函数。,粒子在整个空间出现的总概率等于1。,归一化条件：,练习：将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将（1）增大D2 倍，（2）增大2D倍，（3）增大D倍，（4）不变。,二、薛定谔方程（1926）,薛定谔（奥地利）（1887-1961）,经典力学用位置和动量描述经典粒子，量子力
11、学用波函数描述微观粒子。经典力学中决定经典粒子位置和动量的基本方程是F=ma，由这个方程和初始条件就可以知道粒子以后的运动了。量子力学中微观粒子在不同条件下（不同外场中）的运动状态是不同的，这就需要不同的波函数来描述，决定波函数的基本方程是薛定谔1926年提出的，叫薛定谔方程。薛定谔方程在量子力学中的作用和地位，就相当于经典力学中的牛顿运动方程。,拉普拉斯算符：,1.薛定谔方程的一般形式,薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能用理论推导证明，其正确性由实验检验。,其中，是波函数，U（x,y,z,t）是微观粒子在外场中的势能函数。,2.定态薛定谔方程,若势能函数U 与时间 t 无关，仅是坐标的函
12、数，此时系统的能量不随时间变化，系统的这种状态称为定态。定态波函数可写成：,1）定态,2）定态薛定薛方程,根据：,定态薛定薛方程,一维定态薛定谔方程：,三、一维定态问题,1.一维无限深势阱,1 2 3,在x=0和x=a处阱壁无限高，叫无限深势阱。U 与t 无关，写出定态定谔方程：,势阱外 由于在阱壁处势能突然增大到无穷大，粒子受到无限大的指向势阱内的力，因此粒子不可能到达阱外的区域，即在x0 和 xa 的区域，波函数,2)势阱内,令:,因波函数在x=0 和x=a处连续，则有,因B0,k0(若为零，则波函数处处为零，表示势阱中没有粒子，不合题意)，则有,或,于是,由归一化条件确定系数B,于是，一
13、维无限深势阱中粒子的波函数为,考虑到在x=0 和x=a处连续,一维无限深势阱中运动的微观粒子的能量只能取分立值。,由上两式可得粒子在势阱中的能量分布,（0 x a）,（x a),考虑时间因子,驻波,结论：,其实部 即表示物质波。,n=1,n=2,n=3,一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度:,3.最低能量不为零（称零点能）。符合不确定关系4.当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续，量子 经典。,2.能量量子化是解薛定谔方程自然而然得到的结论。,讨论:,经典理论粒子的“能量连续”量子力学能量只能取分立值,1.势阱内各处粒子出现的概率与经典粒子不同。,但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现
14、的概率几乎相同。量子体系行为将趋于与经典行为一致。“对应原理”,例：作一维运动的粒子被束缚在0 xa的范围内，已知其波函数为,求：粒子在何处附近出现的概率最大？,解：,概率密度为,概率最大的位置应该满足,练习：P251 17-8,1981年，瑞士科学家宾尼希和罗雷尔发明了扫描隧道显微镜STM，用于观察导体、半导体表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。,U0势垒,1 2 3,经典理论:,E U0的粒子,不能越过势垒。,量子理论:,E U0 的粒子，可能越过势垒。隧道效应,四、隧道效应及其应用,E,一氧化碳“分子人”1991年IBM公司的“拼字”科研小组创造出了“分子绘画”艺术。这是他们利用STM
15、把一氧化碳分子竖立在铂表面上，分子间距约0.5纳米的“分子人”。这个“分子人”从头到脚只有5纳米，堪称世界上最小的人形图案。,1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母IBM，每个字母长5纳米。,移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步，其内在意义目前尚无法估量。,17.4 量子力学中的氢原子问题,一、氢原子的定态薛定谔方程,氢原子中，电子的势能函数：,在球坐标系下：,定态薛定鄂方程为：,分离变量,代回原方程化简，得三个常微分方程:,二、量子化条件和量子数,1.能量量子化和主量子数,求解氢原子波函数的径向方程，根据波函数满足单值、有限
16、和连续的条件，可得氢原子的能量是量子化的。,n=1的能级称为基态能级，n1的能级称为激发态能级。主量子数 n=1,2,3,表示电子绕核运动所处的壳层，分别用K、L、M、N、O、P表示。,2.轨道角动量量子化和角量子数,在解薛定谔方程的过程中，给出电子绕核运动的轨道角动量L的大小为：,共有n种可能的取值，分别用s、p、d、f表示。,注意：玻尔假设的 并不正确，只是 n,l 均很大时的近似。,角量子数 l 的作用：决定了电子绕核运动的轨道角动量的大小，,同时对氢原子系统能量有稍许影响。,原子内电子能级的名称,1s表示：n=1，l=0,2p表示：n=2，l=1,3.轨道角动量空间量子化和磁量子数,薛
17、定谔方程的解还给出，电子绕核运动的轨道角动量 L（矢量）在外磁场方向的投影LZ也是量子化的，其值为：,磁量子数 ml 的作用：决定角动量L可能的空间取向。角动量的这种取向特性叫做空间量子化。,对应一定的角量子数 l,ml 有2l+1个取值，即角动量L在空间有2l+1个可能的取向。如l=3，ml=,1,2,3共7种可能的取值，这时 共7种可能的取向。,磁量子数,m l=0,例：氢原子核外电子绕核运动时，对应于 l=2的状态，确定其角动量的大小和可能的空间取向。解：,绕 z 轴旋转对称分布,练习：氢原子核外电子绕核运动时，对应于 l=1时角动量的大小及其可能的空间取向。,共有三个值，表示角动量在空
18、间有三种可能取向。,塞曼效应,n=2,l=1,n=1,l=0,早在1896年，塞曼就发现了氢原子在磁场中谱线分裂的现象，他和洛伦兹用经典理论作了分析。为此，他们于1902年共同获得了诺贝尔物理学奖金。,塞曼效应是轨道角动量空间取向量子化的证明,无外磁场,有外磁场,量子力学解释：,氢原子系统的量子化 以上结论表明：氢原子中电子绕核运动的状态需要用三个量子数（n，l，ml）来确定。,主量子数：表征能量量子化,三、电子的自旋,1.斯特恩-盖拉赫实验（1921年）,实验装置如图：,实验结果：银原子射线束，在底板上呈对称分布的两条条纹。,？,斯特恩正在观测,让一束角动量为零（即l=0，L=0）的原子通过
19、，若B=0，结果是：若不均匀的磁场B0，,为了解释这个实验结果，1925年乌伦贝克和哥德斯密特提出电子自旋的概念：电子除了轨道运动外还有自旋运动。薛定谔方程不能得出电子自旋的结论。后来，狄拉克在考虑了相对论之后建立了量子力学的狄拉克方程，从理论上得出电子存在自旋的结论，并给出电子自旋角动量的大小S为,s 自旋量子数只有一个取值 s=。,mS 自旋磁量子数它只能取这两个数值。,因此，电子的自旋角动量的大小为 电子自旋角动量在外场方向的投影Sz（自旋磁矩）为,因此，电子在外场中的自旋磁矩Sz为,2.电子自旋,斯特恩 盖拉赫实验的意义：,(1)证明了电子自旋存在，电子自旋角动量空间取向量子化。,(2
20、)提供了原子的“态分离”技术，至今仍适用。,四、四个量子数 总结前面结果，氢原子中的电子的运动状态可由四个量子数决定:,1.主量子数n：n=1,2,3,决定原子中电子的能级；2.角量子数l：l=0,1,2,3,n-1决定电子轨道角动量的大小，对能量稍有影响；3.磁量子数ml：ml=0,1,2,3,l 决定电子轨道角动量在外场中的指向；4.磁量子数ms：ms=1/2 决定电子自旋角动量在外场中的指向，也影响原子在外场中的能量。,决定电子“轨道”角动量大小，,17.5 原子壳层结构,一、决定原子中电子状态的四个量子数,0,1,.n-1,可取n个值,对电子能量有影响,决定“轨道”角动量在外场中的取向
21、,决定电子“自旋”角动量在外场中的取向,“轨道”运动,“自旋”运动,二、原子的壳层结构,1869年门捷列夫提出了元素周期表，大体上反映了元素性质的周期性变化特性。1916年柯塞尔提出壳层结构。,壳层：主量子数 n 相同的电子构成同一壳层。,K,L,M,N,O,P,支壳层：同一壳层中(n 相同)，l 相同的电子组成同一支壳层。,0,s,1,p,2,d,3,f,4,g,5,h,对多电子的原子系统而言，其能量主要由主量子数n决定，但也与副量子数 l 有关，故一个支壳层代表了一种能量组态，因此用主量子数与副量子数来表示一个原子组态。如1s、2s、2p。,三、原子的壳层结构中电子的填充原则,1.泡利不相
22、容原理,一个原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数。,根据泡利不相容原理，同一支壳层（l 相同），最多能容纳 2(2l+1)个电子。如：同一壳层（n相同），最多能容纳 电子数为：,s,p,d,泡利（1900-1958）,瑞士籍奥地利物理学家。21岁获得博士学位，并由导师索末菲推荐为数学科学百科全书，写了关于相对论的长篇综述文章，受到爱因斯坦的高度赞许。25岁那年，他提出“泡利不相容原理”，从而把早期量子论发展到极高的地步。这给当时许多正在探索原子内电子分布问题的物理学家提供了一把金钥匙，并进而得以阐明元素的周期律。1945年，因提出“泡利不相容原理”而获得诺贝尔物理学奖。至
23、今，这个原理仍是量子力学的量子统计等微观领域的重要基础之一。,各壳层最多可容纳的电子数,主量子数为 n 的壳层中最多能容纳电子数为,角量子数为 l 的支壳层中最多能容纳电子数为,2.能量最小原理 原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占据最低能级，这一原理称为能量最小原理。能级主要决定于主量子数n，因此电子一般按能量从小到大的次序填入各能级。但由于副量子数 l 的影响，对多电子原子，有些情况下，n 小的壳层尚未填满，却在 n大的壳层中有电子填入。我国理论科学家徐光宪提出一个经验公式:(n+0.7 l)该值越大，能级越高。,例：判别4s与3d能级的高低,对4s能级,对3d能级,电子先填充4s能级，再填3d能级,1s,2s,2p,3s,3p,4s,3d,4p,5s,4d,例：试确定基态氦原子中电子的量子数。,解：氦原子有两个电子，正常情况下这两个电子处于1s态，即n=1,l=0。,因而 ml=0。根据泡利不相容原理，这两个电子的量子数不能完全相同，所以它们的自旋量子数分别为1/2和-1/2。因此基态氦原子中两个电子的四个量子数分别为：(1,0,0,1/2)和(1,0,0,-1/2)。,练习：,10,18,3.下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？,答案：B,
