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1、二次函数中的平行四边形问题,同学们努力吧,一切皆有可能,1.二次函数的三种解析式分别是什么？,y=a(x-x1)(x-x2)（a0),y=ax+bx+c（a0),y=a(x-h)+k(a0),2.平行四边形的主要特征有哪些？,平行且相等；,（1）一般式：_,（2）顶点式：_,（3）交点式：_,相等；,互相平分,（1）对边_,（2）对角_,（3）对角线_,3.以不在同一条直线上的三个点为顶点，可以画出几个平行四边形？试一试，画一画。以两个点为顶点呢？,D1,D2,D3,1.会用待定系数法求二次函数的解析式2.会用分类思想讨论平行四边形的存在性问题3.会用数形结合的思想解决综合性问题重点：分类讨论
2、平行四边形的存在性难点：数形结合思想及画图,2.典型示例,1.如图，抛物线 与直线 交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。,演示,2.典型示例,P点横坐标为m，且OC=2,PFCO2,2.典型示例,2.典型示例,以OC为边的平行四边形PFOC2,2.典型示例,2.如图，已知抛物线经过点A(2,0),B(3,3)及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上
3、，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；,演示,2.典型示例,以OA为一边的平行边形OADE；OA=2，对称轴x=1OAED且OAED,设E(1,m),则 D(3,m)点D在抛物线上m32233D1（3，3）将点E向左平移2平单位可得点D2（-1，3）,以OA为对角线的平行边形ODAE；此时，点D与顶点C重合；D（1，-1）,2.典型示例,3.如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在边BC上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D;(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)
4、若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由;,2.典型示例,演示,2.典型示例,分析:过点D作x轴的平行线,交抛物线于点M,由DMAN且DMAN得,A（4，0）且 DM=2N1（2，0）N2（6，0）,AN为边的平行四边形,2.典型示例,分析:过点N作AD轴的平行线,交抛物线于点M,由DANM且DANM得,设点N（n,0），则有：,把点M的坐标代入二次函数中即可求得n的值,AN为对角线的平行四边形,2.典型示例,例4.在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=mx22x与x轴正半轴交于点A,顶点为B,(1)求点B的
5、坐标(用含的代数式表示);(2)已知点C(0,2),直线AC与BO交于点D,与该抛物线对称轴交于点E,且OCDBED,求m的值;(3)抛物线上有一点N(n,),对称轴上一点F(3,),设点P在抛物线上,在y轴上是否存在点H,使以N,F,H,P为顶点的四边形是平行四边形?,演示,2.典型示例,NF为边的平行四边形,NF为对角线的平行四边形,例1：如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点C在线段AB上，且C点的横坐标为4，过C点作CEx轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点y轴上是否存在点K
6、，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出K点的坐标；若不存在，请说明理由,K1,K2,K3,1.已知顶点坐标为（2,0），可以设此二次函数解析式为：，即_ 2.A点的坐标是，代入解析式，解得a=_ 3.求得二次函数解析式为 _ 4.C、D点的坐标分别是多少?C(,),D(,)；线段CD的长是_4_ 5.以K，A，D，C为顶点的平行四边形有哪几种情况，在上图中画一画。6.写出符合条件的K点的坐标：_,_,y=a(x-h)+k,y=a(x-2),(0,1),y=(x-2),4,K1(0,5),K2(0,-3),D1,D2,D3,练习1：二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（
7、4，3），B（1，0）（1）求b、c的值；（2）若此二次函数图象与y轴交于点C，在坐标平面内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件D点的坐标；若不存在，说明理由,（2）存在点D，D1（3，6），D2（-3，0），D3（5，0）,解：（1）b=-4；c=3,例2：如图，抛物线的顶点为C（-1，-1），且经过点A和坐标原点O,（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，是否存在以A、O、D、E为顶点的平行四边形，若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由。,问题：1.可以设此二次函数解析式为：_,即_2.要确定二次函数解
8、析式，还需要把哪个点的坐标代入上面的解析式？；可代入解得a=_ 3.求得二次函数解析式为_ 4.这个抛物线的对称轴是直线,A点的坐标是,线段OA的长是.5.怎样画出以定点A、O为顶点的平行四边形？以OA为 画平行四边形 以OA为_画平行四边形。,6.知道D点的横坐标，如何求D点的纵坐标？7.根据图形，求出 D点的坐标分别是 _,练习2：已知，抛物线y=ax2+x经过点B（4,0）。（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若点D在抛物线的对称轴上，点C在抛物线上，且以O、D、C、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标。,解：（1）抛物线解析式为y=x2+x顶点坐标是（2,1）,（2）三
9、种情况，C1(-2，-3)，C2(6，-3)，C3(2,1),C2,1.在二次函数中画出所有符合条件的平行四边形；2.用平移、平行四边形的特征等知识求点的坐标。,解决二次函数中平行四边形存在性问题的基本步骤：,如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1，0),B(3,0),C(0,-1).（1）求此抛物线的解析式；（2）点Q在y轴上,点P在抛物线上,是否存在以点Q、P、A、B为顶点且以AB为一边的平行四边形,求所有满足条件的点P坐标.,（2011金昌）如图，抛物线C1：y=x2+2x-3的顶点为M，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，顶点为N，与x轴相
10、交于E、F两点（1）抛物线C2的函数关系式是；（2）点A、D、N是否在同一条直线上？说明你的理由；（3）点P是C1上的动点，点P是C2上的动点，若以OD为一边、PP为其对边的四边形ODPP（或ODPP）是平行四边形，试求所有满足条件的点P的坐标；（4）在C1上是否存在点Q，使AFQ是以AF为斜边且有一个角为30的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由,例2：如图，抛物线的顶点为C（-1，-1），且经过点A，点B和坐标原点O,（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，是否存在以A、O、D、E为顶点的平行四边形，若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理
11、由。,解：(1)顶点坐标为（-1，-1），可设解析式为：y=a（x+1）2-1（a0）把x=0，y=0代入y=a（x+1）2-1得：a=1所以二次函数的解析式为：y=（x+1）2-1=x2+2x,D2,（2）存在，D1（1，3），D2（-3，3）；D3（-1，-1）,（2014珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转30得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2x；（2）如果
12、四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围,（2014海南,第24题14分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由,（2014莱芜，第24题12分）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值,
