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1、,7.3.1 狄拉克函数7.3.2 周期函数傅立叶变换7.3.3 连续时间傅立叶变换的性质,7.3 狄拉克函数与周期函数傅立叶变换,7.3.1 狄拉克函数,概念问题质点的密度函数如何表示？思路质点是物体在尺度趋于零时的理想模型；一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为 的物体在宽度 趋向零时的极限；极限密度为一般定义,狄拉克函数的应用描述功能位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为m(x-a)；位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为q(x-a)；位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为I(t-a)；分解功能质量密度为(x)的物体，可分解为质点的空间叠加 电荷密度为(x)的带电体，可
2、分解为点电荷的空间叠加 信号函数为(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加,信号分析中常用的函数,函数:是一个理想函数，是物理不可实现信号。,1,面积恒等于1,中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个线性时间系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。,特性：,（1）乘积性,（2）积分性,（3）卷积性,（4）傅氏变换,不同脉冲宽度对频谱的影响,可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。,(称为理想低通滤波器),与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。,对偶关系可表示如下:,同时可以看到，信号在时域和频
3、域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对该例，我们可以想到，如果，则 将趋于一个冲激。,若 则有,因为,所以,信号的带宽(Bandwidth of Signals):,由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:,2.对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。,以矩形脉冲为例，按带宽的定
4、义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数C(脉宽带宽积)。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。,7.3.2 周期信号的傅立叶变换,到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下,会给我们带来不便。但由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。,这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。,于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为,就有,若 则,这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数。,例1：,例2：,例3：,
5、例4.周期性矩形脉冲,连续时间傅立叶变换的性质,讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。,1.线性:,则,若,2.时移:,这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。,3.共轭对称性:,所以,即,若 是实信号，则,于是有:,表明：实偶信号的傅立叶变换是偶函数。,表明 是实函数。,若 即信号是奇函数，同样可以得出:,4.时域微分与积分:,(可将微分运算转变为代数运算),（时域积分特性）,5.时域和频域的尺度变换:,当 时，有,尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩
6、a 倍，反之亦然。这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。,时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）,6.对偶性:,证明：,对偶关系可表示如下:,这就是移频特性,例如:由 有对偶关系利用时移特性有再次对偶有,由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域,所以,7 频域微分特性,该特性也可由对偶性从时域微分特性得出:,利用时域微分特性有,对,再次对偶得,频域微分特性,由时域积分特性，可对偶出频域积分特性,利用时域积分特性,再次对偶,频域积分特性,8.能量积分:,这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于 表示了信号能量在频域的分布，因而
7、称其为“能量谱密度”函数。,9.卷积特性,由于卷积特性的存在，使对线性时间系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切线性时间系统的特征函数。,故有,可将 分解成复指数分量的线性组合，每个 通过线性时间系统时都要受到系统与 对应的特征值的加权。这个特征值就是,所以,由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指数信号 通过线性时间系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。,鉴于 与 是一一对应的，因而线性时间系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应 都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了,10.相乘
8、性质,利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质,调制与解调,调制原理调幅、抑制载波调幅及其解调波形,在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往要进行调制和解调：高频信号容易以电磁波形式辐射出去多路信号的传输频分复用 相关课程中讲解“调制与解调”的侧重点不同：“信号与系统”应用傅里叶变换的性质说明搬移信号频谱的原理；“通信原理”研究不同的调制方式对系统性能的影响；“通信电子电路”调制解调电路的分析。,一调制原理,1调制,调制：将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段上的过程。,调制的分类按载波正弦型信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波连续性模拟（连续）调制数字调制,模拟调制是数字
9、调制的基础。,幅度调制（抑制载波的振幅调制，AM-SC）,两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。,频谱结构,分析,频移性质,2解调,将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。,本地载波，与发送端载波同频同相,频谱,二调幅、抑制载波调幅及其解调波形,调制信号载波信号抑制载波调幅调幅解调,例1.正弦幅度调制:,正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。,例2.同步解调:,此时，用一个频率特性为的系统即可从 恢复出。,具有此频率特性的线性时间系统称为理想低通滤波器。,例3.中心频率可变的带通滤波器：,等效带通滤波器,相当于从 中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为 的带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。,傅立叶变换可将时域上较复杂的运算简化为相对简单的频域运算。作为时域卷积积分例子的函数r(t)对应的频域函数为,小结与思考,本章以信号分析为背景，介绍了傅立叶变换的概念、性质、条件，从周期函数推广到非周期函数，从三角到复指数级数、变换。重点是傅立叶变换的概念和性质。,
