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1、5.3 冲击响应和阶跃响应,1.冲击响应,定义：系统的冲击响应就是电路系统在冲击信号激励下产生的零状态响应。即:,因为只有在t=0时,（t）才对电路系统作用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在t0时，由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响应。即：,2.h(t)求法,例:已知电路如图，iL(0-)=0,求iL(t),解：（1）建立电路方程：,(1)直接法:（等效初始条件法）,(2)将其转换为等效零输入响应：,（3）求解：三要素法得：,(2)比较系数法 因为由电路系统的（1）问题转为（2）问题，电路系统的解应具有相同的函数形式，一般,（1）对于nm时
2、，若电路系统方程的特征根互异，则由此得冲击响应为,（2）n=m时，若特征根互异：,（3）nm时，若特征根互异：,若有重根，也可以同理推得公式。因为特征根是由特征方程求得的，那么只要求得系数Ai和j即可，为此采用比较系数法。,例：设描述电路系统I/O微分方程为：,试求其冲击响应 h(t),解：（1）求特征根：,方程表为：,系统微分方程的特征方程为：,即,(3)对h(t)求一阶,二阶导数 h(1)(t),h(2)(t)求得,(2)设系统的冲击响应为：,同理：,将 y(t)=h(t),f(t)=(t)等代入给定微分方程得：,即,左右两端相应项的系数必须相等:,冲击响应为：,解得：,这里我们巧妙地回避
3、了求h(0+)和 h(1)(0+)的问题。,综上所述，我们将求冲击响应的方法步骤归纳如下：(1)求出电路微分方程的特征根。(2)写出冲击响应解的表达式。(3)对h(t)求导，求导的次数由方程的阶次n决定（注意(t)抽样性）。(4)将h(t)及其导数和(t)代到电路微分方程，比较两端相应项系数（即令其相等），求得Ai，从而得到h(t)。,(3)微分法定理：若已知电路系统的阶跃响应为g(t)，则其电路系统的冲击响应由下式决定：,例：已知LTIS，当激励为12U(t)时，响应为(2412e-2t)U(t)，试求单位冲击响应。,（2）求h(t),解：（1）单位阶跃：,(4)拉普拉斯变换法（留待ch8讨
4、论）,2.阶跃响应,(1)定义：LTIS在单位阶跃信号作用下，系统产生的零状态响应，叫做单位阶跃响应。即：,(1),（2）比较系数法：系统阶跃响应的求法与冲击响应的求法类似，但不同的是，根据U(t)的定义，t0，U(t)0.系统的阶跃响应是求解非齐次方程（0初条），它应包括齐次方程通解和非齐次特解。定义式可得：,强迫响应：,(2)求阶跃响应的常用方法,（1）由h(t)g(t),方程（1）中左端最高阶为 g(n)(t)，右端最高阶为 U(m)(t)即使m=n，g(t)中也不会包含(t),故在nm时，若（1）式特征根互异，则自由响应：,故,由此可采用求冲击响应类似的方法，求得 g(t),(1)线性
5、性（即迭加性和均匀性）定理1：线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的：a.响应的可分解性：电路与系统的响应可以分解为零输入响应，零状态响应。,b.零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。c.零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对应各起始状态呈线性。,3.LTI电路系统的基本性质,注意：（1）当系统同时存在n个激励时，系统的完全响应对于某个单独的激励不呈线性关系，而是对全部的激励呈线性关系。（2）在这种叠加解法中，已经将各起始状态的作用也视为系统的激励，所以它与第二章中端口线性定义是一致的。也就是说，可以根据上述三条来定义线性系统。（3）全响应是零输入与零状态
6、的线性组成，它既不是激励的线性函数，也不是初态的线性函数，而仅能是零输入线性，零状态线性。,我们对第二条进行证明 设一阶电路方程为,（1）叠加性 若x1(t)，x2(t)分别激励系统时，相应的零状态响应为y1(t)和y2(t)，它们应当满足方程（1）,（1）,（2）,（3）,将上两式相加得：,（4）,如果在t=0时，在电路中的相同位置上，同时加入x1(t)+x2(t)，则相应的零状态响应为y(t)，则必然有,根据微分方程的唯一性充分条件，式（4）和（5）中，初始状态和激励相同，而1/仅决定于电路结构和元件参数，也应是相同的。所以其解也必然相同。,（5）,这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有
7、叠加性。（2）若在上述同一电路的相同位置，t=0时接入激励x1(t)是实数，相应的零状态响应为y3(t)，则：,（6）,而如果用 同时乘方程（2）的两边，则得：,（7）,于是：y(t)=y1(t)+y2(t),根据微分方程解的唯一性充分条件，比较（6）（7）两式得：,这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。,由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路系统的零状态响应对各激励信号呈线性。同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。这个线性系统的性质具有非常重要的意义。,(2).延时不变性：（定常特性）定理2：若线性时不变系统，输入为f(t)时，引起的响应为y(t),则输入
8、为 f(t-)时，引起的响应为 y(t-)。这就是说，响应的波形与输入的时间无关，仅是起点改变。即若f(t)yzs(t)，则,(3).微分特性：定理3：若线性时不变系统在激励f(t)作用下，产生零状态响应为yzs(t)，则当激励为 f(t)时，其响应为y(t),f(t)零状态yzs(t),证明：因为 f(t)y(t)根据延时不变性：f(tt)y(t t)又因为系统具有叠加性和均匀性：,根据导数的定义有：,证毕。,推论：（1）这个特性可以推广至高阶导数和积分。（2）对几个典型的信号有：,(4).因果特性：a.因果系统：如果tt0时，系统的激励信号为0，相应的输出响应在tt0时也等于0，则这样的系
9、统称为因果系统。b.因果特性：因果系统的激励是产生响应的原因，响应是激励引起的效果，或者说系统没有预知未来的能力，只有在激励加入后，才有响应输出，这种特性叫系统的因果特性。,一切物理可实现系统都是因果系统，都具有因果特性。由常系数微分方程描述的系统都是因果系统，都满足因果性，因此，因果系统的充分必要条件是：h(t)=0(t0)g(t)=0(t0),例：某LTIS，在相同的初始状态下，输入为f(t)时，响应为：y(t)=(2e-3t+sin2t)U(t)，输入为2f(t)时，响应为：y(t)=(2e-3t+2sin2t)U(t),试求：（1）初态加大一倍，输入为f(t)/2，系统响应（2）初态不变，输入为f(t-t0)时，系统响应解：设在相同初态和f(t)作用下，,（2）,（3）,思考：输入为 tf(t)或 e-ktf(t)，零状态是否还成线性。,联解得：,
