《几何空间向量的外积.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何空间向量的外积.ppt（23页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2023/9/23,1,1.7.几何空间向量的外积,外积的基本性质（特别注意反交换律）外积的计算内积与外积在立体几何中的应用点到直线的距离 二面角 直线与平面的夹角 点到平面的距离二重外积,2023/9/23,2,外积的定义,向量的外积是向量间的另一种重要的运算,有很多应用,如力学中的力矩.,2023/9/23,3,外积的性质,证明:,2023/9/23,4,外积的性质,则,证明:,2023/9/23,5,外积的运算性质,定理 7.3.,证明:,(EP1)由定义可得;,(EP2),且,由反交换律得另一等式,2023/9/23,6,外积的运算性质,因,于是,由命题7.2可得,2023/9/23,
2、7,外积的运算性质,2023/9/23,8,外积的运算性质,因此,最后,由反交换律可得右分配律.,2023/9/23,9,外积的计算,则,从而,证明:由外积的性质易得.,2023/9/23,10,外积的计算:说明,1)外积计算公式也形式地记为,因此,平行四边形的面积为,2023/9/23,11,外积的计算：例题,解:先求得,于是,2023/9/23,12,外积的计算：例题,已知空间3点 A(1,1,0),B(1,2,1),C(0,1,2).求三角形ABC的面积;求AB边上的高.,解:三角形ABC的面积为以AB,AC为邻边的平行四边形的面积的一半,所以,=(2,1,1).,AB边上的高：,202
3、3/9/23,13,外积与内积在立体几何中的应用,立体几何中的夹角与距离的问题可以转化为向量的计算问题.建立适当的直角坐标系后,应用外积与内积有时可以简化计算过程,或者使得思路变得简单.这里将涉及点到直线的距离,二面角,直线与平面的夹角,点到平面的距离等.,点到直线的距离.,设 P 为空间一点,l 为一空间直线.,在直线上任取两点 A,B,2023/9/23,14,点到直线的距离：例题,求点 M 到直线 PQ 距离.,解:建立如图的直角坐标系,得,于是,2023/9/23,15,二面角,则这两个平面所成的二面角等于,或,2023/9/23,16,直线与平面的夹角,则直线与平面的夹角为,2023
4、/9/23,17,点到平面的距离,在平面上任取一点 A,2023/9/23,18,例题 7.4,求,解:先给出相关点的坐标:,2023/9/23,19,例题 7.4,2023/9/23,20,例题 7.4,平面 BPQ 的法向量为,平面 MPQ 的法向量为,可以看出该二面角为钝角,2023/9/23,21,例题 7.4,=4,2023/9/23,22,二重外积,命题 7.4.,proof,由反交换律得到,可见,向量的外积不满足结合律.,例.证明雅可比恒等式:,证：,三式相加即得.,2023/9/23,23,命题 7.4 的证明,命题 7.4,证:,取一个右手系直角坐标系,有,同理可得,所以命题成立.,back,
