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1、第2讲 函数依赖的公理体系,第5章 关系数据库模式设计,主要内容,阿姆斯特朗公理及推论X关于F的闭包及其计算最小函数依赖集候选键的求解方法,一、阿姆斯特朗公理及推论,是一系列推理规则最早出现在1974年的论文里他人与1977年提出改进形式,F=XY,侯选键,XY在R中是否成立,能从F导出的所有XY,推导工具？,问题引入：,1、阿姆斯特朗公理,设有关系模式R(U,F)，U=A1,A2,An是R的属性集，F是R的属性集U上的FD集，X、Y、Z、W是U的子集。阿姆斯特朗公理为：A1 自反律：若YX，则XY A2 增广律：若XY，则XZYZ A3 传递律：若XY,YZ，则XZ,Armstrong公理是
2、正确的。方法：从函数依赖的定义出发 A1 自反律：若YX，则XY证：设u、v为r的任意两个元组。若uX=vX，则u和v在X的任何子集上必然相等。由条件YX，所以有：uY=vY，由u、v的任意性，并根据函数依赖的定义，可得 XY。,2、定理5.1,3、阿姆斯特朗公理的推论,合并规则：若XY且XZ，则XYZ 分解规则：若XY，且ZY，则XZ 伪传递规则：若XY且WYZ，则WXZ,证：,XY,WXZ,WXWY,WYZ,作用：将一个FD分解成若干个右边是单属性的FD。用于确定关系的主键。,4、定理5.2,如果Ai(i=1,n)是关系模式R的属性,则XA1A2An成立的充分必要条件是XAi(i=1,n)
3、均成立。,二、X关于F的闭包及其计算,例：已知关系模式R(A,B,C)，其函数依赖集为F=AB，BC，求函数依赖集F的闭包F+。,1、X关于F的闭包,设有关系模式R(U,F)和属性集U=A1,A2,An的子集X。则称所有用阿姆斯特朗公理从F推导出的函数依赖XAi的属性Ai组成的集合称为X关于F的闭包，记为XF+，通常简记为X+。即 XF+=Ai|用公理从F推出的XAi,集合元素,设有关系模式R(U，F)，U=A1,A2,An是R的属性集，F是R的属性集U上的函数依赖集，X、Y是U的子集，则 XY能用Armstrong公理从F导出YX。,该定理把判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出的
4、问题求出X，判定Y是否为X的子集的问题。,2、定理5.3,算法5.1 求属性集X关于函数依赖集F的闭包X输入：关系模式R的全部属性集U,U上的函数依赖集F，U的子集X。输出：X关于F的闭包X。计算方法：,3、X关于F的闭包X的计算,（1）X(0)=X。（2）从F中找出满足条件VX(i)的所有函数依赖VW，并把所有的VW中的属性W组成的集合记为Z；也即从F中找出那些其决定因素是X(i)的子集的函数依赖，并把由所有这样的依赖的被决定因素组成的集合记为Z。（3）若ZX(i)，则转（5）。（4）否则，X(i+1)=X(i)Z，并转（2）。（5）停止计算，输出X(i)，即为X+。,3、X关于F的闭包X的
5、计算（续）,例5.4 已知R(U),U=A,B,C,D,E,G，R上的FD集 F=ABC,CA,BCD,ACDB，DEG,BEC,CGBD,CEAG，X=BD，求X，BDA是否成立？(1)X（0）=BD。(2)X（1）=BDEG(3)X（2）=BCDEG(4)X（3）=ABCDEG,X=ABCDEG,ABD，故BDA成立,4、举例,一个函数依赖集F的闭包F通常包含很多函数依赖，有些函数依赖是无意义的，如平凡的函数依赖，还有一些是可以推导出的，即无关的函数依赖。如果将每一个函数依赖看作是对关系的一个约束，要检查F中的每一个函数依赖对应的约束，显然是一件很繁重的任务。如果能找出一个与F等价的、包含
6、较少数目函数依赖的函数依赖集G，则可以简化此工作。最小函数依赖集的概念由此而提出。,三、最小函数依赖集,定义5.5 设F和G是两个函数依赖集，如果FG，则称F和G等价。如果F和G等价，则称F覆盖G，同时也称G覆盖F。,1、函数依赖集的等价与覆盖,定理5.7 FG的充要条件是FG和GF。,F=G,F,G,FG,定理,GF,XY能否由G根据公理导出？,Y XG+？,作用：任一函数依赖集都可转化成由右端只有单一属性的依赖组成的集合。该结论是最小函数依赖集的基础。,推论,每一个函数依赖集F都被其右端只有一个属性的函数依赖组成的依赖集G所覆盖。,满足下列条件的函数依赖集F称为最小函数依赖集。F中每一个F
7、D的右端都是单个属性；对F中任何FD:XA，F-XA不等价于F；对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，(F-XA)ZA不等价于F。,2、最小函数依赖集,F没有多余的FD,每个FD左端无多余的属性,求解方法,（1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右端为单个属性的函数依赖；,Armstrong公理的推论分解规则：若XY，且ZY，则XZ,求解方法（续一）,（2）去掉F中冗余的函数依赖 对于F中任一FD：XY G=F-XY；求X关于G的闭包XG+；看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，则在G中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余的函数依赖，所以F=G；如果X+不包含Y，则保留XY。,求解方法（续二）,
8、（3）去掉左端多余的属性 对于F中左端是非单属性的函数依赖（XYA），假设要判断Y是否是多余的属性 G=(F-XYA)XA；求X关于F的闭包XF+；如果A不属于XF+，则XA不在F+中，说明Y不是多余的属性，接着判别X是否是多余的属性；如果A属于XF+，则说明Y是多余的属性，F=G。,ABC，CA，BCD，ACDB，DEG，BEC，CGBD，CEAG,F=,ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGB，CGD，CEA,CEG,F1=,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集法1：,3、举例,F21=,ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGB，CGD，CEA,CE
9、G,F1=,ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEA,CEG,3、举例（续一）,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集,F22=,ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGD，CEA,CEG,F21=,ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG,3、举例（续二）,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集,ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG,F22=,F3=,ABC，CA，BCD，CDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG,3、举例（续三）,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集,F21=,ABC
10、，CA，BCD，DE，DG，BEC，CGB，CEG,ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGBCGD，CEA,CEG,F1=,3、举例（续四）,例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集法2：,四、候选键的求解方法,1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可将其属性分为4类：L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性；R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性；N类：在F的FD左右两边均未出现的属性；LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。,四、候选键的求解方法,2、快速求解候选键的一个充分条件（1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成员；（2）若X是L类属性，且X包含了R
11、的全部属性，则X必为R的唯一候选键；（3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员；（4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键中；（5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，且X包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。,四、候选键的求解方法,3、候选键的一般求解方法 将所有属性分为L、R、N和LR四类，并令X代表L和N类，Y代表LR类；求XF+：若XF+包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键，转；在Y中取一属性A，并求(XA)F+：若(XA)F+包含了R的全部属性，则XA为的一个候选键；重复，直到Y中的属性依次取完为止；从Y中除去所有已成为主属性的属性A；,四、候选键的求解方法,
12、3、候选键的一般求解法 在剩余的属性中依次取两个属性、三个属性，将其记为集合B，并求(XB)F+：若(XB)F+包含了R的全部属性，且自身不包含已求出的候选键，则XB为R的一个候选键；重复，直到Y中的属性按的组合依次取完为止；输出候选键，算法结束。,R的候选键：A、E、BC和CD,四、候选键的求解方法,3、候选键的一般求解法例:设有关系模式R（A,B,C,D,E），R的函数依赖集FABC,CDE,BD,EA，求R的所有候选键。,均为LR类,令Y=ABCDE。,A+=ABCDE E+=ABCDE,BC+=ABCDE CD+=ABCDE,XY是否能从F导出,Armstrong公理及推论,小结,求X+,求最小FD集,无多余FD,FD左边无多余属性,F+=G+,候选键,L类、N类、LR类,
