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1、算法的基本思想,二分法求方程的近似解,教学目标:体会用二分法求方程近似解的算法思想.,教学重难点:算法的设计及意义,对于一元二次方程,可以用熟悉的求根公式来求解,但是,绝大部分的方程不存在求根公式.,在实际问题中,通常只要获得满足一定精确度的近似解就可以了.因此,讨论方程近似解的算法具有重要的意义!,设计一个算法,求方程3x+4y=13的正整数解.,设计一个算法,解方程组 的正整数解,解:(1)因为x6,所以,x可能为,1,2,3,4,5,6,在函数的应用部分,我们学习了用二分法求方程f(x)=0的近似解.如图所示,二分法的基本思想是:将方程的有解区间分为两个小区间,然后判断解在哪个小区间;继
2、续把有解的区间一分为二进行判断,如此周而复始,直到求出满足精度要求的近似解.,1.确定有解区间(f(a)f(b)0).,2.取 的中点,3.计算函数f(x)在中点处的函数值,4.判断函数值 是否为零,其算法步骤如下:,如果为零,就是方程的解,问题就得到解决.,b)如果函数值 不为零,则分下列两种情形:,2)若 则确定新的有解区间为,5.判断新的有解区间长度是否小于精确度:(1)如果新的有解区间长度大于精确度,则在新的有解区间的基础上重复上述步骤;(2)如果新的有解区间长度小于或等于精确度,则取新的有解区间的中点为方程的近似解.,1.求方程f(x)=x3+x2-1=0在区间 0，1上的实数解,精
3、确度为0.1.,解:1.因为f(0)=-1,f(1)=1,f(0)f(1)0.1,2.取0,1 的区间中点0.5;,3.计算f(0.5)=-0.125;,4.由于f(0.5)f(1)0.1,练 习,6.计算f(0.75)=-0.1563;,7.由于f(0.75)f(1)0.1,8.取区间0.75,1的中点0.875;,9.计算f(0.875)=0.43555,10.由于f(0.75)f(0.875)0.1;,11.取区间0.75,0.875 的中点0.8125,5.取0.5,1的区间中点0.75;,11.计算f(0.8125)=0.19653,12.因f(0.75)f(0.8125)0,得区间
4、0.75,0.8125精度0.8125-0.75=0.06250.1,13.该区间一满足精确度的要求,所以取该区间的中点0.78125,它是方程的一个近似解.,简化写法:,第一步:令f(x)=x3+x2-1,因为f(0)f(1)0,所以设x1=0,x2=1.,第二步:令m=,判断f(m)是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断f(x1)f(m)大于0还是小于0.,第三步:若f(x1)f(m)0,则令x1=m;否则,令x2=m.,第四步:判断|x1-x2|0.1是否成立?若是,则x1,x2之间的中间值为满足条件的近似根;若否,则返回第二步。,算法,出现在12世纪,指的是运用阿拉伯数字进行算术
5、运算的过程.在数学中,现代意义上的“算法”,通常指的是可以用计算机来解决来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确的有效的,而且能够在有限步之内完成.,练习.书本78:1,2.设计一个算法,求函数y=log2x,当x=3时的函数值(精确到0.1),(用反函数的思想转化为求f(x)=2x-3=0的近似解.用二分法算法计算),解:算法(二分法):,因为f(1)=-1,f(2)=1,f(1)f(2)0,所以取区间1,2,第二步:取区间 a,b 的中点,将区间一分为二;,第三步:若f(x0)=0,则x0就是所求函数的零点,输出x*=x0,结束;否则判断x*在x0的左侧还是右侧;若f(a)f(x0)0,则x*属于(x0,b),a=x0;若f(a)f(x0)0则x*属于(a,x0),b=x0;,第四步:若|a-b|0.1,计算终止,输出x*=x0,否则转到第二步.,作业:P83A组2、6.B组 1,
