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1、初中数学反证法,高密市立新中学 楚晓英,知识讲解,对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。,反证法的概念：,不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。,反证法的基本思路,首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一
2、个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。,反证法的一般步骤,假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确简而言之就是“反设归谬结论”三步曲。,例题：,1.求证：三角形中至少有一个角不大于60。证明：假设ABC中的A、B、C都大于60 则ABC360180 这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。故三角形中至少有一
3、个角不大于60。,例题,例2：已知：AB、CD是O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。,证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。OAOB，M是AB中点OMAB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OMCD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾。故AB与CD不能互相平分。,练习：,1.在ABC中，已知ABc，BCa，CAb，且C90.求证；a2b2c2.2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.3.求证：若a0,则ax=b，有唯一解。4.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN（ADBC）。求证：ADBC,练习4答案：证明：假设AD BC，连结BD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。在ABD中BMMA，BPPDMP AD，同理可证PN BC从而MPPN（ADBC）这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MNAD，MNBC，得ADBC与假设AD BC矛盾，于是M、P、N三点不共线。从而MPPNMN由、得（ADBC）MN，这与已知条件MN（ADBC）相矛盾，故假设AD BC不成立，所以ADBC。,
