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1、第三章 初等函数(1),内江师范学院数学与信息科学学院王亚雄,3.1 函数的一般概念,1.函数概念的发展,（1）函数相关术语与记号的引入,函数这一名词德国数学家莱布尼兹(Leibniz 16461716)所首先采用的 在最初，莱布尼兹用函数一词表示变量x的幂，即x2，x3，其后莱布尼兹还用函数一词表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等所有与曲线上的点有关的量 欧拉(Euler 17071783)发明了函数的记号：f(x)柯西(Cauchy 17891857)引入了术语“自变量、因变量”,一、函数概念发展与定义,（2）函数概念的演变,2.函数的定义定义1 如果两个变量按照某一确定的
2、规律联系着,当 第一变量变化时，第二变量也随着变化，就把 第二个变量叫做第一个变量（自变量）的函数定义2设 和 是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合 中的任何一个元素，在集合 中都有 唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集 合 到集合 的函数,记作 定义3设 和 是两个集合，是一个非空子集,如果满足 对于任意,存在唯一的 使 则 称为 到 的一个函数,定义4 设、为非空集合，如果按照某种对应法则，对于 中任一元素，中都有且仅有一个元素 与之对应，就称 是一个从集合 到集合 的映射，记 特别地，当，都是实数集合时，则称从 到 的映射 为函数 函数通常记作，当 对应 时称 是 的函数值，或
3、是 的函数值，或 是 的象，记为，这时称 是 的原象,二、函数的三要素,定义域、对应法则、值域 在研究函数的抽象定义时，不妨把函数比喻为一个“机器”加工的过程，输入 输出，而这关键的加工机制就是 定义5（函数相等）函数的相等 要求输入的 相同，加工 机制相同，输出的 也相同,x y,(x)=,三、函数的表示法,解析法（公式法）列表法图像法,定义6 设、是 的子集，是 到 的函数，则称 的子集 是函数 的图像,例 设f(x)是以实数集 为定义域的函数，且对任意实数x,y，均满足求证：当 时，当 时，,四、反函数及其图像,满射：单射：一一映射（双射）：逆映射：,1.逆映射和反函数：,定义 如果函数
4、 是定义域 到值 域 上的一一映射，那么由它的逆映 射 所确定的函数，叫做函 数的反函数 反函数的习惯表示为:,2.反函数的图像,定理1 函数 的图像和它的反函 数 的图像关于直线 对称,思考：为什么函数 的反函数 的图像关于 对称？,3.互反函数间的辩证关系,定理2 设函数 是一一映射，是它的逆映射（反函数），则（1）（表示B上的恒等射）；（2）是一一映射的；（3）是唯一的；（4）的逆映射就是,例2 设，的图像与 的像关于 直线 对称，求,第三章 初等函数(2),内江师范学院数学与信息科学学院王亚雄,3.2 用初等方法讨论函数,一、关于函数的定义域和值域,1.求函数的定义域,求函数的定义域，
5、即求使解析式有意义的x的取值范围.初等函数求定义域的常见情况:p104,例1 求下列函数的定义域：,例2 已知函数g(x)的定义域为(0,1,求下述函数定义域：,例2 求 的值域,2.求函数的值域,求值域的方法有：观察法、直接法、图像法、配方法、反函数法、不等式法、判别式法、单调性法、换元法、数形结合法等.,（1）观察法,例1 求函数 的值域,（2）直接法,（3）图像法,例3 求函数 的值域,（4）配方法,例4 求函数 的值域,（5）反函数法,例5 求函数 的值域,（6）不等式法,例6 求函数 的值域,（7）判别式法,例7 求函数 的值域,例8 求下列函数的值域：,（8）换元法,例9 求函数
6、的值域,例10 已知函数,（1）若 时，函数均有意义，求x的取值范围；,（2）若定义域为R，求实数m的取值范围；,（3）若值域为R，求实数m的取值范围.,思考研究：,二、关于二次函数的一些典型问题,例11 已知y=f(x)为二次函数，,（1）若 f(x)图像过两点(1,-3)和(0,-8)，且与 x 轴两交点的距离为2，求 f(x);,（2）若 f(-1)=f(2)=5,且 ymax=14,求 f(x).,二次函数的一般形式：,（2）若 f(x)在0,1内的最小值为g(m),求g(m)的最大值.,例12 已知,例13已知函数,有公共点，求实数 a 的取值范围.,例14 已知二次函数 f(x)满
7、足条件：,三、函数的性质,函数的性质就是指因变量随自变量的变化而变化的特征性质.在初等数学里，主要是研究函数的宏观性质（即全局特征），如函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性、最大最小值等.而在数学分析中，则是进一步研究函数的微观性质，即自变量在微小的范围内变化时，因变量的变化情况，如函数的连续性、导数、微分等.最终结合初等方法和分析的方法我们就能够弄清楚函数全面的特征性质.,1.函数的有界性,定义1 如果存在正数M，对于函数f(x)在其定义域（或其子集）内的一切x的值，都有则称f(x)为定义域（或其子集）上的有界函数.如果上述M不存在，则称这个函数是无界的.,类似地可以定义有上界函数和有下界函
8、数.,显然，有界函数的图像介于直线 和 之间.,函数的有界性与函数的值域有本质的联系.,例15 讨论函数 的有界性.,分析：可通过观察法进行分析.,例16 证明下列命题：,函数 是有界函数；,函数 是无界函数.,分析：利用定义证明.,2.函数的单调性,定义2 对于给定区间E上的函数f(x)，如果对于任意，有,则称f(x)在区间E上是增函数（或者说是单调递增的）.反之，如果,则称f(x)在区间E上是增函数（或者说是单调递增的）.,增函数的图像特征是从左至右上升的，减函数的图像特征是从左至右下降的.,例17 讨论函数 的单调性,并作出它的图像.,可以证明函数的单调性有如下结论：,单调函数f(x)与
9、f(x)+c（c是常数）依同向变化.单调函数f(x)与cf(x)（c是常数），当c0时依同向变化，当c0时依反向变化.若两个单调函数 与 依同向变化则两函数的和也和他们依同向变化.,若两个正值（或负值）单调函数 与 依同向变化，那么这两个函数的乘积与它们依同向（或反向）变化.,单调函数f(x)与 在f(x)不等于零的同号区间里依反向变化.,单调函数f(x)和它的反函数 依同向变化.,如果单调函数y=f(u)和单调函数u=g(x)依同向（或反向）变化，那么复合函数y=f g(x)是单调递增（或递减）的.,证明：设y=f(u)于u=g(x)都是增函数.在复合函数y=f g(x)的定义域内任取，则有
10、，即.又因 f(u)也是增函数，故有，即.所以y=f g(x)是增函数.同样，若y=f(u)于u=g(x)都是减函数.也易证明y=f g(x)是增函数.,定理的剩余部分的证明.留给同学们自己完成.,例18 讨论函数 在区间 1,+)上的单调性.,解法一：,（用单调性的定义）,解法二：,可将原函数改写成,，再利,用结论和.,例19 讨论函数 的单调性和有界性.,例20 已知点M(1,2)既在函数,的图像上，又在其反函数的图像上.,求反函数；,证明 在其定义域上是减函数.,分析：,利用结论,分析：,利用结论,例21 已知函数,在区间 上是减函数，求实数a的范围.,3.函数的奇偶性,定义3 设函数f
11、(x)的定义域为D，如果对于任意xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.,奇函数和偶函数反映了函数图像的某种对称特征.,不难证明奇函数与偶函数的如下结论：,两个奇(偶)函数的代数和仍然是奇(偶)函数.,两个奇(偶)函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.,如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于原点的数集上，那么这个反函数也是奇函数.,奇(或偶)函数得倒数函数(分母不为零)仍为奇(或偶)函数.,设函数y=g(x)是函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，定义在对称于原点的数集S上：若g(x)是奇函
12、数，则当f(u)是奇(偶)函数时，复合函数y=f g(x)是奇(偶)函数；若g(x)是偶函数，则不论f(u)是奇函数或偶函数，复合函数y=f g(x)都是偶函数.,以上结论留给同学们自己证明.,例22 判断函数 的奇偶性.,例23 已知函数,判断函数f(x)的奇偶性；根据其性质作出f(x)的图像；依据f(x)的图像写出它的单调区间.,例24 判断函数 的奇偶性.,例25 讨论函数 的奇偶性.,4.函数的周期性,定义4 设f(u),例9 若定义在R上的函数f(x)对任意实数x，恒有f(x+a)=f(x+b)成立，试证明：该函数为周期函数.,例10 已知f(x)是定义域为R的函数，且满足f(1)=
13、0，,是周期函数，并求出它的一个周期.,1 证明 的最小正周期是,2 判断函数 是否为周期函数,3 讨论函数 的 周期性,练习,3.3 基本初等函数,一、基本初等函数,三角函数(六个)反三角函数,二、初等函数及其分类,1.初等函数2.初等函数的分类 有理整函数 有理函数 初等代数函数 有理分函数 初等函数 无理函数 初等超越函数3.代数函数的广义定义 凡能作为代数方程的解的函数都叫做代数函数,3.4 函数的思想方法,例1 已知函数 其中 为 的导函数（）对满足 的一切 的值，恒有，求实数 的取值范围（）设，当实数 在什么范围内变化时，函数 的图象与 只有一个公共点,2006年四川文21题例2
14、求 的图像的交点坐标例3 设 是绝对值小于1的实 数，证明：,谢谢,第三章 初等函数(3),3.3 函数方程（选学）,1、函数方程相关定义,含有未知函数的等式叫函数方程,使等式成立的函数叫做函数方程的解.,2、关于函数方程的问题,解函数方程,判断函数方程中的函数的性质,求函数方程中的函数的某些特殊值,3、解函数方程的方法,换元法递归法柯西法待定系数法,换元法,将函数方程中的变量进行适当的换元，得到一个新的函数方程，再与原函数方程构成一个方程组，然后解此方程组就可求出原函数方程的解.,例1 若,例2 已知,例4 已知函数 定义在正实数范围内，且满足关系式,赋值法,为了解函数方程或探求未知函数的性质，有时可以给函数方程中变量赋值（式）以求得结果，这种方法称为赋值法.,例6 解函数方程,（1）对任意,函数f(x),满足条件,（2）对任意,待定系数法,例8 确定符合下列条件的所有多项式函数f(x):,例9 设n次多项式函数为,求 f(n+1).,柯西方法,例10 设f是R上的连续函数，且对一切,求 f(x).,有,
