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1、,13-普遍定理的综合应用举例,A,B,例：图示弹簧两端各系以重物A和B，放在光滑的水平面上,重物A和B的质量分别为m1、m2,弹簧的原长为l0，刚性系数为k。若将弹簧拉到 l 然后无初速地释放，问当弹簧回到原长时，重物A和B的速度各为多少？,13-普遍定理的综合应用举例,A,B,解：取整体为研究对象。,m1 g,m2 g,FA,FB,vA,vB,x,应用动量定理,应用动能定理,（2）,（1）,由(1)、(2)两式解得：,13-普遍定理的综合应用举例,例：图示圆环以角速度绕铅垂轴AC自由转动。此圆环半经为R,对轴的转动惯量为J。在圆环中的点A放一质量为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点A，小
2、球与圆环间的摩擦忽略不计。求当小球到达点B和C时，圆环的角速度和小球的速度。,13-普遍定理的综合应用举例,解：取整体为研究对象。,z,mg,P,Fy,F1z,F1x,F1y,Fx,1.小球AB,应用动量矩定理,应用动能定理,z,mg,P,Fy,F1z,F1x,F1y,Fx,13-普遍定理的综合应用举例,2.小球AC,应用动量矩定理,应用动能定理,解得,解得,13-普遍定理的综合应用举例,例：如图所示两均质圆轮质量均为m，半径为R，A轮绕固定轴O转动，B轮在倾角为的斜面上作纯滚动，B轮中心的绳绕到A轮上。若A轮上作用一力偶矩为M的力偶，忽略绳子的质量和轴承的摩擦，求B轮中心C点的加速度、绳子的
3、张力、轴承O的约束力和斜面的摩擦力。,13-普遍定理的综合应用举例,解：取整体为研究对象，假设轮B的中心C由静止开始沿斜面向上运动一段距离s，则各力所作功的和为,由动能定理，得,mg,mg,Fs,FOy,FOx,FN,vC,13-普遍定理的综合应用举例,(2)取轮A为研究对象，应用定轴转动微分方程,其中,得,应用质心运动定理，得,因 aox=aoy=0，得,mg,FOy,FOx,FT,x,y,13-普遍定理的综合应用举例,(3)取轮B为研究对象，应用质心运动定理，得,代入已知量，得,本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解。,mg,Fs,FN,FT,aC,13-普遍定理的综合应用举例,例：两个
4、相同的滑轮A和B，半径各为R，重量各为P，用绳缠绕连接。两滑轮可视为均质圆轮。系统从静止开始运动。求轮B质心C的速度v及加速度a与下落距离h的关系。,13-普遍定理的综合应用举例,解：取整体为研究对象。,Fx,Fy,P,P,v,由运动学知：,Fx,Fy,P,P,v,F,F,取轮A为研究对象,取轮B为研究对象,13-普遍定理的综合应用举例,由于F=F，开始时系统静止，所以,代入前面的方程，得,上式两边求导，得,13-普遍定理的综合应用举例,例：图示三棱柱体ABC的质量为m1,放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为,求三棱柱的
5、加速度。,13-普遍定理的综合应用举例,m1g,m2g,FN,vr,v1,v1,解：取整体为研究对象。,应用动量定理,x,应用动能定理,其中,13-普遍定理的综合应用举例,两边求导（注意：），得,所以,13-普遍定理的综合应用举例,例：物块A、B的质量均为m,两均质圆轮C、D的质量均为2m,半径均为R。C轮铰接于无重悬臂梁CK上,D为动滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动,求：1.A物块上升的加速度；2.HE段绳的拉力；3.固定端K处的约束力。,13-普遍定理的综合应用举例,解：1.取整体为研究对象。,式中,得,该系统所有力的功率为,vA,vB,13-普遍定理的综合应用举例
6、,vA,mg,F,2mg,FCx,FCy,2.取轮C和重物A为研究对象。,由动量定理，有,所以,13-普遍定理的综合应用举例,3.取梁CK为研究对象。,FCx,FCy,FKx,FKy,MK,解得,13-普遍定理的综合应用举例,例:均质细长杆为l、质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。,C,A,13-普遍定理的综合应用举例,解：取杆为研究对象。由于水平方向不受力，到下过程中质心将铅直下落。设杆左滑于任一角度，如图所示，P为杆的瞬心。由运动学知,杆的角速度,由动能定理，得,当 时解出,mg,FN,vA,vC,P,13-普遍定理的综合应用举例,杆刚到达地面时。,点A的加速度aA为水平,由质心守恒，aC 应为铅垂,由运动学知,沿铅垂方向投影，得,mg,FN,aC,A,C,由刚体平面运动微分方程，得,
