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1、,第7章 矩阵函数与矩阵值函数,7.1 矩阵函数,7.2 矩阵值函数,7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用,7.4*特征对的灵敏度分析,7.1 矩阵函数,7.1.1 矩阵函数的幂级数表示,7.1.2 矩阵函数的另一种定义,7.1.1 矩阵函数的幂级数表示,7.1.2 矩阵函数的另一种定义,设矩阵A的最小多项式为,则定义矩阵函数 f(A)为,其中,且(7.1.25)给出的矩阵函数f(A)与 A的Jordan标准形 J中Jordan块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关。,7.2 矩阵值函数,7.2.1 矩阵值函数,7.2.2 矩阵值函数的分析运算,7.2.1 矩阵值函数,称为定义在(a,b)上
2、的矩阵值函数。,特别地，当n=1时，得到向量值函数。通常用 等形式表示。,区间(a,b)上 mn 矩阵值函数 A(x)不恒等于零的子式的最高阶数称为A(x)的秩，记为rank(A(x)。特别地，如果A(x)是区间(a,b)上 n 阶矩阵值函数，并且rank(A(x)=n，则称A(x)为满秩的。,则称 A(x)在(a,b)上可逆，并称 B(x)为 A(x)的逆矩阵，记为A-1(x)。,n 阶矩阵值函数 A(x)在区间(a,b)上可逆的充分必要条件是|A(x)|在(a,b)上处处不为零，并且,其中,是 A(x)的伴随矩阵值函数，Aij(x)是A(x)中元素aij(x)的代数余子式。,7.2.2 矩
3、阵值函数的分析运算,矩阵值函数的导数运算具有下列性质：,因为矩阵乘法没有交换律，一般地，对正整数 m1和可导的 n 阶矩阵值函数 A(x),定理7.2.2 如果 n 阶矩阵值函数 A(x)在(a,b)上可逆且 可导，则,为 A(x)在a,b上的积分。,矩阵值函数的积分具有如下性质：,(3)对常数矩阵 A和C，有,(4)如果矩阵值函数 A(x)在a,b上连续，则,(5)如果矩阵值函数 A(x)在a,b上连续，则,矩阵值函数的导数具有如下性质：,7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用,一阶线性微分方程组,其中,方程组(7.3.1)的初始条件,可以表示成,设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组,设 A是 n 阶常数矩阵，如果对任意的 t0和 x0，初值问题,对任意的 t0和 x0，初值问题(7.3.8)的解 x(t)渐近稳定的充分必要条件是矩阵 A的特征值都有负实部。,设 A是 n 阶矩阵，如果 A的特征值都有负实部，则称 A为稳定矩阵。,设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组,7.4*特征对的灵敏度分析,则方程组,则方程组,证明,是非奇异矩阵，并且,令,由(7.4.3)和(7.4.6)得,令,由定理7.4.1知，方程组,令,由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有,由定理7.4.1知，方程组,令,由(7.4.8)，(7.4.17)和(7.4.18),有,则,
