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1、习题课,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,(i):有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得
2、齐次方程的通解为,特征根为,(ii):有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,(iii)有一对共轭复根,重新组合，目的是消去虚部,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,例4,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例5,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,故原
3、方程的通解为,即,例6,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,（）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,第七章：向量代数空间几何,定义,一、两向量的数量积,数量积也称为“点积”、“内积”.,设,数量积的坐标表达式,1：数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,2:两向量夹角余弦的坐标表示式,解,证,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,二、两向量的向量积,1:向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若 为数：,设,向量积的坐标表达式,2:向量积的坐标表达式,解,解,例5,解,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫
4、做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,三、平面的点法式方程,平面的点法式方程,其中法向量,已知点,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,四、平面的一般方程,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,五:平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,六、两平面的夹角,按
5、照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,A:两平面夹角余弦公式,/,B:两平面位置特征,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,解,点到平面距离公式,第五节:空间直线及其方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的点向式方程与参数方程,直线的点向式(对称式)方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,例1 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点
6、,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解,所以交点为,所求直线方程,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,或,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,第八
7、章、多元函数微分学,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:对比,区别异同,1、多元函数的极限(本课程以二元函数为例讲解),定义2.设 二 元函数,则称 A 为函数f(x,y),(也称为 二 重极限),若存在常数 A,记作,使得,例1.设,求证：,证:,故,总有,注意:若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同路径趋于,不存在.,例2.讨论函数,函数,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,注意:二重极限,不同.,如果它们都存在,则
8、三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在.,解:原式,例4.求,例5.求函数,的连续域.,解:,习题,是否存在？,解:,所以极限不存在.,第二节,一、偏导数概念及其计算,偏 导 数,二、高阶偏导数,一、偏导数定义及其计算法,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或 y 偏导数存在,例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的,偏导数的概念可以推广到
9、二元以上的函数.,偏导数定义为,(请自己写出),其实从以上定义可以看出,求偏导数时,我们总是把另外的变量看作是常量,例如求:,时,我们可以把y看作常量,用一元函数求导的方法即可求得偏导数,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,对于一元函数而言,可导的条件比连续强,就是说要是一个函数在某点可导,那么在该点一定是连续,注意：,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,但是:,但在该点不一定连续.,在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!,例1.求,解:,在点(1,2)处的偏导数.,例2.设,证:,例3.求
10、,解:,求证,二、高阶偏导数,设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶,偏导数为,例5.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,例如,二者不等,例6.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,则,定理.,例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
11、,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,(证明略),第四节:多元复合函数的求导法则,解,解,解,令,记,同理有,于是,解,第五节:隐函数求导公式,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,解,令,则,解,令,则,解,令,则,思路：,解,令,则,第六节:多元函数微分法在 几何中的应用,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为
12、曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方
13、程,切平面方程(1),切平面方程(2),第七节:多元函数的极值及求法,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,1、二元函数极值的定义,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,解,求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻
14、点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,如图,解,由,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,解,则,解,可得,即,第二节：二重积分的计算
15、方法（I）,如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,解,解,解,曲面围成的立体如图.,第二节（2）：二重积分计算（2）,一、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,解,
