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1、固体物理Solid State Physics,4.7 能态密度和费米面,第四章 能带理论,04_07 能态密度和费密面,1 能态密度函数,孤立原子：,电子的本征态形成一系列的分立能级，可以具体的标明各能级的能量，说明它们的分布情况。,固 体：,电子的能级是异常密集的，形成准连续的分布，去标明其中每个能级是没有意义的，为了概括这种情况下能级的状态，引入所谓“能态密度”的概念。,能态密度定义,若在能量在E E+E之间范围内，能态数目Z，则能态密度N(E)定义为：,若在 空间中，根据 为常数作出等能面，那么在等能面E E+E的状态数目就是Z,等能面,状态在k空间是均匀分布的,EE+E之间的能态数目
2、,应用关系,状态密度,能态密度,考虑到电子的自旋，能态密度,1)自由电子的能态密度,电子的能量,k空间,等能面是半径为,的球面,在球面上,能态密度,若以 N(E)为横坐标，E为纵坐标，就得到如图所示的抛物线,2)近自由电子的能态密度,周期场,在布里渊区的边界附近产生较大影响,在其它的地方只对自由电子的情形有较小的修正。,因此，在考虑第一布里渊区的等能面的情况下，可以认为：,2）接近布里渊区边界时，等能面将向边界凸出。,1）从原点向外，等能面应基本上保持为球面；,原因：,微扰作用，使第一布里渊区边界的电子能量下降；等能面凸出意味着要达到同样的E需要更大的 值,根据以上分析，对能态密度N(E)可以
3、做如下估算：,接近布里渊区的A点，能量受到周期性势场的微扰能量下降，等能面向边界凸现,在A点到C点之间 等能面不再是完整的闭合面分割在各个顶点附近的曲面,a）当能量没有接近EA时，N(E)和自由电子的结果接近。,根据以上分析，对能态密度N(E)可以做如下估算：,b）当E接近EA时，随E，等能面一个比一个更加强烈的向外凸出，使他们之间的体积由愈来愈大的增长，EEA时，N(E)自由电子的N(E)。,c）当EEA时，等能面开始残破，面积不断下降。,E=EC时，等能面缩成n个顶角点。,EEC时，N(E)0。,因此，对近自由电子近似的情况，得到如图所示的N(E)曲线,第二布里渊区能态密度,能量E越过第一
4、布里渊区边界A点 从B点开始能态密度由零迅速增大,能带不重叠,第二布里渊区能态密度,能量E越过第一布里渊区边界A点 从B点开始能态密度由零迅速增大,能带重叠,3)紧束缚模型的电子能态密度,简单立方格子的s带,等能面为球面,k=0附近,随着E的增大，等能面与近自由电子的情况类似,能态密度,出现微商不连续的奇点 等能面与布里渊区相交,带底,和,X点,出现微商不连续的奇点 等能面与布里渊区相交,的等能面,的等能面,2 费米面,固体中有N个自由电子 按照泡利原理它们基态 N个电子由低到高填充的N个量子态,电子的能级,电子填充k空间半径为kF的球,球内的状态数,球内的状态数,球的半径,电子密度,费米波矢
5、 费米动量 费米速度 费米温度,费米能量,费米球半径,费米动量,费米速度,费米温度,自由电子球半径,电子密度,费米半径,费米速度,费米能量的估算,费米半径,费米能量,费米能量的估算,晶体中的电子,满带 电子占据了一个能带中所有的状态,空带 没有任何电子占据(填充)的能带,导带 一个能带中所有的状态没有被电子占满 即不满带，或说最下面的一个空带,价带 导带以下的第一个满带,禁带 两个能带之间不允许存在的能级宽度,周期性势场的影响使得电子的能级 形成一系列的准连续的能带 N个电子填充这些能带中最低的N个状态,半导体和绝缘体,电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带 导带中没有电子 半导体带隙宽度较小
6、 1 eV,绝缘体带隙宽度较宽 10 eV,金 属,电子除了填满一系列的能带形成满带 还有部分电子填充其它能带形成导带,电子填充的最高能级为费密能级 位于一个或几个能带范围内,在不同能带中 形成一个占有电子与不占有电子区域的分解面 面的集合称为费密面,金属_半导体_绝缘体的能带,碱金属 体心立方格子，一个原胞有1个原子,n2的能级,原子的量子态数为8，电子填充数为8个,晶体中相应的能带2s_1个、2p_3个，共4个能带,N个原子构成的晶体 各满层电子能级相应分成2N个量子态的能带 内层电子刚好填满了相应的能带,每个能带所容许的量子态2N _共8N个量子态 可以填充8N个电子,碱金属 体心立方格
7、子，一个原胞有1个原子,最外层ns态所对应的能带可以填充2N电子,N个电子只填充了半个布里渊区 费密球与布里渊区边界不相交 费米面接近球面,N个自由电子，只填充了半个能带而形成导带,例：,二价碱土金属 最外层2个s态电子,2N个电子刚好填充满和s相应的能带,ns态所对应的能带可以填充2N电子,与s对应的能带和上面的能带发生重叠 2N个电子尚未填充满s态能带，开始填充上面的能带 两个能带都是部分填充,二价碱土金属 是绝缘体！,例：,第一布里渊区尚未填满,碱土金属为金属导体,二价碱土金属 最外层2个s态电子,费米面由两部分构成,第二布里渊区已填充电子,仅第一布里渊区中的费米面，细线是第一布里渊区的
8、边界,图五：不同金属单质的费米面（摘自美国佛罗里达大学物理系主页-科学网）,金刚石结构的IVB族元素 C、Si和Ge电子的填充,IVB原子外层有4个电子 形成晶体后成键态对应4个能带在下面 反键态对应4个能带在上面,每个能带可容纳2N个电子 成键态的4个能带刚好可以容纳 8N 电子,例：,每个原胞有两个原子 共8个电子,Si和Ge为半导体,成键态的4个能带刚好可以容纳8N电子,晶体中8N个电子全部填充成键态的4个能带形成满带,反键态则是空带 金刚石为绝缘体,能态密度的实验结果,X射线将原子内层电子激发 产生空的内层能级 导带中的电子跃迁填充内层能级时发射X射线光子,X射线将Na原子的内层电子激
9、发后 产生了诸如1s,2s和2p等空的内层能级,K:电子到1s能级的跃迁LI:电子到2s能级的跃迁LII:电子到2p能级的跃迁LIII:电子到3s能级的跃迁,导带中电子能量从带底能量到最高能量E0 各种能量的电子均可发生跃迁产生不同能量的X光子 发射出X光子能量形成一个连续能量谱,X光子发射强度决定于,（能态密度）（发射几率）,根据不同固体的X光子 发射谱可以获知能态密 度的信息,在低能量区域,X光子发射能量逐渐上升的,电子的能量从带底逐渐增大，能态密度逐渐增大,在高能量的一端，X光子发射谱陡然下降,导带未填充满，最高能量的电子对应的能态密度 最大,金属钠,在低能量区域,X光子发射能量逐渐上升的,电子的能量从带底逐渐增大，能态密度逐渐增大,在高能量的一端，X光子发射谱逐渐下降,满带填充，带顶布里渊区附近，能态密度逐 渐降为零,金刚石,金属Na、Mg、Al和非金属金刚石、硅的实验结果,
