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1、地理加权回归（GWR）,2012年12月24日,基本框架,普通线性回归模型及估计OLS工作的基本原理解释OLS结果GWR提出的背景及意义地理加权回归模型及估计权函数选择权函数宽带优化诊断工具膀胱癌死亡率实例,OLS工作的基本原理,在我们国家是否有持续发生年轻人早逝的地方？哪里为犯罪或火灾的高发地点？城市中哪里的交通事故发生率比预期的要高？,在实际工作中，我们可能会遇到以下类似的问题,911紧急呼叫数据的分析结果，显示了呼叫热点（红色）、呼叫冷点（蓝色）以及负责事故处理的消防和警察分队的位置（绿色十字）,可以通过热点分析的方法弄清以上问题,对于上面的每一个问题都询问了“where”，但是我们自然
2、会想到“why”为什么国家会存在持续发生年轻人早逝的地方？是什么导致了这种情况？我们能否对犯罪、911呼叫或火灾频发地区的特征进行建模，以帮助减少这些事件的发生？导致交通事故发生率比预期要高的因素有哪些，有没有相关政策或者措施来减少整个城市或特定事故高发区的交通事故？,通过回归分析，我们可以对空间关系进行建模、检查和探究，还可以解释所观测到的空间模式背后的诸多因素。例如分析有些地区为什么会持续发生年轻人早逝或者糖尿病的发病率比预期的要高。通过空间关系建模，对这些现象进行预测。例如，对影响大学生毕业率的因素进行建模，可以对近期的劳动力技能和资源进行预测；因为监测站数量不足而无法进行充分插值的情况
3、下（沿山脊地区和山谷内，雨量计通常会短缺），可以用回归法来预测这些地区的降雨量或者是空气质量。,使用回归分析的主要原因,1.对某一现象建模，测量一个或多个变量的变化对另一变量变化的影响程度。例如，了解某些特定濒危鸟类的主要栖息地特征（降水，食物源、植被、天敌），以协助通过立法来保护该物种。2.对某种现象建模以预测其他地点或其他时间的数值，构建一个持续准确的预测模型。例如，如果已知人口增长情况和典型的天气状况，那么明年的用电量将会是多少？3.深入探索某些假设情况。假设您正在对住宅区的犯罪活动进行建模，以更好的了解犯罪活动并希望实施可能阻止犯罪活动的策略，开始分析时，就会有很多问题或想要检验的假设
4、情况：1).“破窗理论”表明公共财产的破坏（涂鸦、被毁坏的建筑物等）可招致其他犯罪行为，破坏财产行为与入世盗窃之间是否存在正关系？2).非法使用毒品与盗窃行为之间存在某种关系吗（吸毒成瘾的人又可能通过偷取财物来维持他们吸毒的习惯吗）？,OLS回归方程,1.遗漏自变量：如果模型中丢失了关键的自变量，其系数和相应的关联P值将不可信。通过映射并检查OLS残差和GWR系数或对回归残差进行热点分析，找出可能缺失的变量。2.非线性关系：OLS和GWR都是线性方法，如果任一自变量与因变量之间的关系存在非线性关系，则获得的模型质量不佳。通过创建散点图矩阵来了解模型中所有自变量之间的关系。3.数据异常值：影响大
5、的异常值可以使模型化的回归关系背离最佳拟合，从而使回归系数发生偏差。通过创建散点图来检验数据的极值，如果异常值存在，则进行修正或者移除。如果异常值正确或者有效则不能将其移除，需要对有异常值和没有异常值的情况下分别进行回归，查看这两种情况对结果的影响程度。,回归模型中常见的问题,4.不稳定性：一个输入变量在区域A中具有很强的解释能力，但是在区域B中却不显著。如果因变量与自变量之间的关系在研究区域内不一致，将人为地扩大计算出的标准误差。用Koenker测试关联的概率很小时，区域变化具有统计显著性。（地理加权回归改进）,5.多重共线性：一个自变量或多个自变量的组合冗余。多重共线性可导致模型不稳定，不
6、可靠。可以通过OLS工具自动检测冗余，每个自变量都被给定一个计算出的VIF值，当这个值很大时，冗余便成了问题，通过创建交互变量或增大采样间隔从模型中移除冲突变量或对其进行修改。,6.残差的方差不一致：对于较小的因变量值，模型的预测效果较好，但对于较大的因变量值，模型的预测值变得不可靠。7.空间自相关残差：注意模型偏低预计值（红色）出现空间聚类的方式。残差（模型的偏低预计值和偏高预计值）在统计学上的显著空间聚类表明模型缺失关键的因变量，可以使用空间自相关工具来确定模型残差的空间聚类是否有统计学上的显著性。,8.正态分布偏差：当回归模型残差不服从均值为0的正态分布时，与系数关联的P值将变得不可靠。
7、可以用OLS工具自动检查残差是否服从正态分布。当Jarque-Bera统计量显著（0.05）时，很可能错误选定了模型或对其建模的关系为非线性。通过残差图和GWR系数图来检查是否缺少关键变量，查看散点矩阵图寻找非线性关系。,解释OLS结果,（1）评估模型性能。R 平方的倍数和校正 R 平方值都可以用来测量模型性能。取值范围从 0.0-1.0。由于“校正 R 平方”值与数据相关，更能准确地测量出模型性能，能够反映模型的复杂性，因此“校正 R 平方”值始终要比“R 平方的倍数”值略小。为模型额外添加一个解释变量可能会增大“R 平方的倍数”值，但可能会减小“校正的 R 平方”值。假设正在创建一个入室盗
8、窃（与每个人口普查区块相关的入室盗窃数量为因变量，y）的回归模型。如果“校正 R 平方”值为 0.84，则表示该模型（使用线性回归建模的解释变量）可解释因变量中大约 84%的变化。,使用 R 平方值量化模型性能,（2）评估模型中的每一个解释变量：系数、概率、稳健概率和方差膨胀因子(VIF)。系数反映它与因变量之间关系的强度，以及它们之间的关系类型。当系数为负时，表明自变量与因变量负相关。当系数为正号时，自变量与因变量为正相关。概率或稳健概率（p 值）P值很小时，系数实际为零的几率也会很小。如果 Koenker 测试（见下图）具有统计学上的显著性，应使用稳健概率来评估自变量的统计学显著性。对于具
9、有统计学上显著性的概率，其旁边带有一个星号(*)。VIF 测量自变量中的冗余。一般来说，与大于 7.5 的 VIF 值关联的自变量应逐一从回归模型中移除。,（3）评估模型是否具有显著性。联合 F 统计量（联合卡方统计量）用于测量整个模型的统计学显著性。只有在 Koenker(BP)统计量（见下图）不具有统计学上的显著性时，“联合 F 统计量”才可信。如果 Koenker(BP)统计量具有显著性，应参考“联合卡方统计量”来确定整个模型的显著性。对于大小为 95%的置信度，p 值（概率）小于 0.05 表示模型具有统计学上的显著性。,（4）评估稳定性。Koenker(BP)统计量（Koenker
10、的标准化 Breusch-Pagan 统计量）是一种测试，用于确定模型的自变量是否在地理空间和数据空间中都与因变量具有一致的关系。如果模型在地理空间中一致，由自变量表示的空间进程在研究区域各位置处的行为也将一致。如果模型在数据空间中一致，则预测值与每个自变量之间关系的变化不会随自变量值（模型没有异方差性）的变化而变化。该测试的零假设测试模型稳定性。对于大小为 95%的置信度，p 值（概率）小于 0.05 表示模型具有统计学上的显著异方差性和/或不稳定性。如果该测试的结果具有统计学上的显著性，需参考稳健系数标准差和概率来评估每个解释变量的效果。具有统计学上显著不稳定性的回归模型通常很适合进行地理
11、加权回归 分析。,（5）评估模型偏差。Jarque-Bera统计量用于指示残差是否呈正态分布。该测试的零假设为残差呈正态分布。因此，如果为这些残差建立直方图，这些残差的分布将高斯分布相似。当该测试的 p 值（概率）较小（例如，对于大小为 95%的置信度，其值小于 0.05）时，回归不会呈正态分布，并指示您的模型有偏差。,（6）评估残差空间自相关。对回归残差运行空间自相关(Morans I)可确保回归残差在空间上随机分布。高残差和/或低残差（模型偏高预计值和偏低预计值）在统计学上的显著聚类表明模型中的某个关键变量缺失了。当错误指定了模型时，OLS 结果不可信。,GWR提出的背景和意义,在空间分析
12、（Spatial analysis）中，变量的观测值（数据）一般都是按照某给定的地理单位为抽样单位得到的，随着地理位置的变化，变量间的关系或者结构会发生变化，这种因地理位置的变化而引起的变量间关系或结构的变化称之为空间非平稳性（spatial nonstationarity）。这种空间非平稳性普遍存在在空间数据中，如果采用通常的线性回归模型或莫伊特定形式的非线性回归函数来分析空间数据，一般很难得到满意的结果，因为全局模型（global model）在分析之前就假定了变量间的关系具有同质性（homogeneity），从而掩盖了变量间关系的局部特性，所得结果也只有研究区域内的某种“平均”，因此需要
13、对传统的分析方法进行改进。,改进方法采用局部回归分析，根据回归区域的不同可以分为分区回归和移动窗口回归。变参数回归模型。全局模型中的参数是地理位置的某种函数，从而参数在空间中的变化趋势就可以被度量出来。但是这两种模型都没有充分考虑数据的空间结构，就有了GWR的提出。在总结前人局部回归分析和变参数研究的基础上，Fortheringham等人（1996）基于局部光滑的思想，提出了地理加权回归（Geographically Weighted Regression）模型，将数据的空间位置嵌入到回归参数中，利用局部加权最小二乘方法进行逐点参数估计，其中权是回归点所在的地理空间位置到其他各观测点的地理空间
14、位置之间的距离函数。,地理加权回归模型,地理加权回归模型是对普通线性回归模型的扩展，将数据的地理位置嵌入到回归参数中，即：,这里的 为第i个采样点的坐标（如经纬度），是第i个采样点上的第k个回归参数，是地理位置的函数。,简便记为：,空间权函数的选择,地理加权回归模型的核心是空间权重矩阵，它是通过选取不同的空间权函数来表达对数据久安空间关系的不同认识。空间权函数的正确选取对地理加权回归模型参数的正确估计非常重要，介绍常用的几种空间全函数。1.距离阈值法,2.距离反比法,3.Gauss函数法,4.截尾型函数法,权函数宽带优化,在实际应用中我们发现，地理加权回归分析对Gauss函数和bi-squar
15、e函数的选择并不是很敏感，但是对特定权函数的宽带却很敏感，宽带过大回归参数估计的偏差过大，宽带过小又会导致回归参数估计的方差过大，那么如何选择一个合适的宽带呢？,1.交叉验证法（CV）,2.AIC准则,诊断工具（Diagnostic Tools）,1.空间自相关性（Autocorrelation）Morans I和Gearys c2.共线性容许度（Tolerance）：越接近1，共线性越小。方差膨胀因子（VIF）：容许度的倒数，越接近1，共线性越小。条件指标（Condition Index）：10以下多重共线性较弱，100以上存在严重的共线性。方差比例（Variance Proportion）
16、：同一特征值序号上的两个或者多个系数的方差比例较大，共线性越强。,膀胱癌死亡率实例,实验数据研究区域：美国本土的506个经济发展区膀胱癌死亡率数据：国际癌症研究所Atlas癌症死亡率，1970-1994年，年龄标准化死亡率（每年每10万人）肺癌死亡率：1954-1969年，年龄标准化死亡率数局人口密度：取每年人口密度的自然对数,普通线性回归模型分析,GWR模型分析,现在回归系数根据经济发展区变化而变化，通过交叉验证（VC），GWR核函数的波段宽度的估计为1.27。拟合系数变为0.52，提高了拟合精度。,估计的系数展现出一种明显的变化，在一些地区出现了违反直觉的负相关关系，肺癌和人口密度都是，而
17、且人口密度的负相关更加明显。,Wheeler等人用散点图估计系数之间的相关性。,对回归系数进一步探索他们之间的独立性，方差比例和条件指数作为诊断工具。在506个SEA中，13个SEA的状态指数大于30，85个的条件指数要大于20，500个的条件指数大于10。436个方差比例大于0.5，在这些最大方差比例中，又有431个的条件指数大于10。总体来说，方差变异分解和条件指数在一定程度上说明了局部共线性的存在。,另外通过总结，可以分析相关性具体位于哪个位置上。一个条件指数和方差比例的平行坐标图，一个条件指数的直方图。在最大条件指数下的30个SEAs的选择集被高亮显示。在相关系数图中也按照条件指数大于30的用黄色标注，周边靠近海洋的地方大部分被选择。在平行坐标系中很清楚可以看到大部分被选择的点在截距和肺癌死亡率上存在最大的方差变异。,通过表1可以看到，方差比例和条件指数。条件指数大于30的时方差比例最大，截距和斜率拥有最大的方差变异，意味着两个回归系数可以由一个组分来解释。,在上幅图中，吸烟指数与人口密度的协同方差主要位于中西部和东北部地区，GWR相关系数应该被慎重考虑。,作为一种可以选择的GWR，贝叶斯模型应该是合适的。中西部地区的回归系数在图中标示，用GWR和贝叶斯模型做一种比较。一定的相反性很明显，例如比GWR模型系数更加明显。,Thank You！,
