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1、,垂直于弦的直径（二）,垂径定理,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：,那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。,经过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的优弧,平分弦所对的劣弧,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理及推论,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分
2、这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,一、判断是非：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。,(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,（7）平分弦的直径垂直于弦,填空：1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点
3、E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到AB的距离是_cm，AB=_cm.,第1题图,第2题图,2,4,H,选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3 B、2 C、1 D、0,A,1.平分已知弧 AB.,你会四等分弧AB吗?,A,B,问题2,(1)如图,已知O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30,求弦 AB 的长.,O,A,O,C,A,B,M,(2)如图
4、,已知O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M,求 弦 AB 的长.,6,30,E,B,例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 米。,C,D,4,O,练习：半径为的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB=,CD=，求AB和CD间的距离.,.,做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.,挑战自我,1.如图，O 与矩形 ABCD 交于 E,
5、F,G,H，AH=4,HG=6,BE=2.求EF的长.,M,N,4,6,2,船能过拱桥吗?,例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,1.过o内一点M的最长的弦长为
6、10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,练习：5.在中，、AC为互相垂直且相等的两条弦，于，于求证：四边形是正方形,1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,C,D,知识延伸,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面
7、的油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,D,C,E,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,再见,2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB600毫米，求油的最大深度.,实际问题,1、已知：O的半径为6厘米，弦AB与半径OA的夹角为30.求：弦AB的长.,驶向胜利的彼岸,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
8、）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,练习:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长.,O,1已知O的半径为10，弦ABCD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为,2如图，已知AB、AC为弦，OMAB于点M，ONAC于点N，BC=4，求MN的长,2或14,提高练习:,3.在 O中，直径CEAB于D，OD=4，弦AC=，求 O的半径.,A,B,C,D,E,O,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的
9、距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=.,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,练习,E,3.如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长.,4.一条排水管的截面如图所示已知排水管的半径 OB=10，水面宽 AB=16.求水深.,D,E,A,B,C,P,5.如图，AB是O的任意一条弦，OCAB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm，你能求出这面镜子的半径吗？,O,7,14,C,D,A,B,E,F,G,求作弧AB的四等分点.,m,n,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.,作图依据：,
