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1、第三节 向量空间的结构,一、向量组的秩与极大无关组,二、向量空间的基与维数,三、向量空间的基与维数,定义,一、向量组的秩与极大无关组,定理1,也等于它的行向量组的秩。,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，,结论,说明,如阶梯形矩阵,定理2,推论1,推论2,定理3,说明:,矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)列,向量之间的线性关系；,矩阵的初等列变换不改,变(部分或全部)行向量之间的线性关系。,事实上,定理3,推论1,等价向量组有相同的秩，但反之不真。,那末，向量组 就称为向量的一个基，,称为向量空间 的维数，并称 为 维向量空间,记作 dimV=r。,二、向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间，
2、如果 个向量，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（4）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.,（3）如果V是向量空间，V的任何r个线性无关的向量都是V的一个基,那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？,问题：在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的,二、基变换与坐标变换,它们是等价向量组，故,其中P是n阶矩阵，,的过渡矩阵，,由上式可知P可逆。,(1),则由,由坐标的唯一性得：,(1)式(2)式分别称为基变换公式和坐标变换公式。,(2),例5 见P121例3,解,教材P123,初等行变换,
