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1、复变函数与积分变换,第四章 级数,1.复数项级数,2.幂级数,3.泰勒级数,4.洛朗级数,5.第四章小结与习题,第四节 洛朗级数,问题的引入,1,洛朗级数的概念,2,小结与思考,5,典型例题,4,函数的洛朗展开式,3,一、问题的引入,问题:,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,结论:,常见的特殊圆环域:,例如，,都不解析,而,2.问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?,所以,也可以展开成级数：,二、洛朗级数的概念,定理,C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线.,为洛朗系数.,证,对于
2、第一个积分:,对于第二个积分:,其中,下面证明,则,如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单,证毕,说明:,在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.,1),2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是 f(z)的洛朗级数.,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.,三、函数的洛朗展开式,常用方法:1.直接法 2.间接法,1.直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点:计算往往很麻烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性，可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,优点:简捷,快速.,2.间接展开法,四、典型例题,例1,解,由定理知:,其中,故由柯
3、西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,另解,本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,例2,内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解,由,且仍有,此时,仍有,说明:,回答：不矛盾.,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛,解,例3,例4,解,例5,内的洛朗展开式.,解,五、小结与思考,在这节课中，我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.,洛朗级数与泰勒级数有何关系?,思考题,洛朗级数是一个双边幂级数，其解析部分是一个普通幂级数;,思考题答案,是一般与特殊的关系.,洛朗级数的收敛区域是圆环域,Thank You!,再见！,
