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1、5.2 复数的向量表示,任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定;有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.,复数z=a+bi 可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.,Z,a,b,:a+bi,实轴上的点都表示实数;,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.,按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.由此得,复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.,即,复数z=a+bi,复平面内的点Z(a,b),一一对应,这是复
2、数的一种几何意义.,当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数.,复数 z 的共轭复数用 表示,即如果z=a+bi,那么=a bi.,当复数z=a+bi 的虚部 b=0时,有 z=,即任一实数的共轭复数仍是它本身.,这是判断一个数是否是实数的一个准则.,在复平面内,如果点Z表示复数 z,点 表示复数,那么点Z和 关于实轴对称.,复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 关于实轴对称.,b,-b,:a+bi,b,-b,:a+bi,共轭复数有如下一些性质:,在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与
3、复数是一一对应的,这样,可以用平面向量来表示复数.,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连结OZ,则向量 是由点Z唯一确定的;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定.,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即,复数z=a+bi,平面向量,一一对应,为方便起见,常把复数z=a+bi 说成点Z或者说成向量,并且规定:相等的向量表示同一个复数.,复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点O.若起点不统一,是原点以外的其它点,复数与向量就不能建立一一对应关系.,复数z=a+bi(a,bR),复平面上的点Z(a,b),一一对应,向量 的模 r 叫做复
4、数 z=a+bi 的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|.,如果 b=0,那么z=a+bi是一个实数 a,它的模等于|a|(即实数的绝对值).,由模的定义可知,(显然 r 0,r R),|z|=|a+bi|有以下几种情况:,几何意义:在数轴上a的对应点到原点的距离.,模的几何意义:,复数的模表示向量 的长度,也就是复平面上的点到原点的距离,由此可得到复平面上两点间的距离公式:d=z1-z2(z1,z2C),例2.设 z C,满足下列条件的点 z 的集合是什么图形?(1)|z|=4;(2)2|z|4.,例1.当实数m为何值时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面中的对应
5、点:(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.,例2.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设 z 在复平面中的对应点为Z.(1)求证:复数z不能是纯虚数;(2)若点Z在第三象限,求x的取值范围;(3)若点Z在直线x-2y+1=0上,求x的值.,-7m3,m=4,1.复平面问题,2.共轭复数问题,例1.已知复数 z1=m2+1+(m2+m)i 与 z2=2+(1-3m)i(mR)是共轭复数,求m.,m=1,3.复数模的有关问题,例1.复数z=1+itan2000的模_.,sec200,例3.复数z=4+ti的模小于5,则实数t的取值范围是_.,-3 t 3,例4.已知实数m满足不等式log2m+4i5,则m的取值范围是_.,4.复数,复数模的图形问题,例1.复数z=icos,0,2)的几何表示是()(A)虚轴;(B)虚轴除去原点;(C)线段PQ,点P,Q的坐标分别为(0,1),(0,-1);(D)C中线段PQ,但应除去原点.,C,例2.设z=x+yi(x,yR),在复平面上画出满足下列条件的点Z的集合所表示的图形:(1)xR且yR;(2)x4且00,且x2+y2 9.,5.最大值,最小值问题,例1.若复数z对应点集为圆:,试求z的最大值与最小值.,o1,2,1,1,3,1,z1,4,0,2,2,
