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1、第五讲 多元复合函数的求导法则,多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数,多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数,类型,多元复合函数,类型一,复合关系图,u,x,s,t,类型,多元复合函数,类型二,复合关系图,u,x,t,y,类型,多元复合函数,类型三,复合关系图,u,x,s,y,t,类型,多元复合函数,类型四,复合关系图,u,x,t,t,y,类型,多元复合函数,类型五,复合关系图,u,x,y,z,y,x,多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元
2、复合函数的高阶偏导数,多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数,类型,多元复合函数,类型,多元复合函数,类型三,复合关系图,u,x,s,y,t,求导法则,如果函数x=x(s,t)，y=y(s,t)在点(s,t)具有偏导数,函数u=f(x,y)在对应点(x,y)具有连续偏导数，则复合函数u=f(x(s,t),y(s,t)在点(s,t)具有偏导数，且有：,定理,注：,若干项之和，,项数=中间变量个数,每项都是若干因子之积,因变量对中间变量求偏导中间变量对自变量求偏导,项数=因变量到自变量的路径数,因子数=因变量到自变量的环节数,枝枝依次求导，
3、每枝导数连乘，枝枝依次相加,类型,多元复合函数,类型,多元复合函数,类型一,复合关系图,u,x,s,t,求导法则,例1,类型,多元复合函数,类型,多元复合函数,类型二,复合关系图,u,x,t,y,求导法则,注：,关于记法,含有一个变量，用d,含有多个变量，用,关于称谓,因变量对自变量求导，称为全导数,因变量对中间变量或中间变量对自变量求导，称为导数,例2,类型,多元复合函数,类型,多元复合函数,类型四,复合关系图,u,x,t,t,y,求导法则,设z=t,z,注,表示因变量u对自变量t的导数,x和y应视作t的函数.,表示因变量u对中间变量t的导数,x和y应视作常数.,相应地,复合关系图也作一定修
4、改,t,例3,类型,多元复合函数,类型,多元复合函数,类型五,复合关系图,u,x,y,z,y,x,求导法则,设v(x,y)=x,w(x,y)=y,v,w,类似可得,复合关系图可作相应修改.,x,y,复合关系图也可作相应修改.,例4,多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数,多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数概念二、多元复合函数求导法则三、多元复合函数的高阶偏导数,高阶偏导数与原来函数具有相同的复合关系,复合关系图,w,y,v,x,依次求导,u,例5,设u=x+y+z,v=xyz，,z,先四则,后复合,注意符号的含义,小 结,关键:,注意:,搞清复合关系,明确,因变量,中间变量,自变量,对谁求偏导,把谁看成常数,不要漏掉中间变量,高阶偏导数与原来函数有相同的复合关系,
