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1、多元函数积分小结,各种积分之间的联系,定积分,二重积分,积分概念的联系,曲面积分,曲线积分,三重积分,二重积分,(1).直角坐标系下的计算,(2).极坐标系下的计算,1.直角坐标系下的计算,(1).x型区域上的计算,(2).y型区域上的计算,(3).二重积分的换序问题,（1）x-型区域,(2).y-型区域,3.极坐标系下的计算,(1)极点位于积分区域外,(2)极点位于积分区域边界上,(3)极点位于积分区域内部,性 质,三重积分,(1).直角坐标系下的计算,(2).利用柱面坐标计算,(3).利用球面坐标计算,(1).直角坐标系下三重积分的计算,或其它坐标面上,(2).利用柱面坐标计算,(3).利
2、用球面坐标计算,性质,对弧长的曲线积分,(1).直角坐标系下的计算,(2).参数方程形式的计算,(1).直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算,(2).参数方程时对弧长的曲线积分的计算,三维空间中对弧长的曲线积分的计算,对坐标的曲线积分,(1).直角坐标系下的计算,(2).参数方程形式的计算,1.直角坐标方程形式下的计算,2.参数方程形式下的计算,直接计算法,第一类：从小参数到大参数；,第二类：从起点参数到终点参数。,化为对L的定位参数的定积分。,注意：,间接计算法,用两类曲线积分的联系；,用Green公式及其推论、Stokes公式.,第二类与定向有关。,两类曲线积分,闭合,非闭,闭合,非闭,补充
3、曲线再用公式,基本方法,对面积的曲面积分,直角坐标系下的计算,对坐标的曲面积分,直角坐标系下的计算,设积分曲面由方程zz(x y)给出的 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有一阶连续偏导数 被积函数R(x y z)在上连续 则有,其中当取上侧时 积分前取“”当取下侧时 积分前取“”,计算,注意:对坐标的曲面积分与所取的侧有关。,两类曲面积分,直接计算法,第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分；,第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二重积分。,注意：,间接计算法,用两类曲面积分的联系；,用高斯公式。,第二类与定向有关。,计算上的联系,理论上的联系,1.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,2.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,3.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,各种积分之间的联系图,练习题,
