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1、第2章 牛顿运动定律 角动量定理,吴庆文,动量定理,对单个质点或对质点系：,密歇尔斯基方程,变质量系统的动力学方程：,上节课的主要内容,动量守恒定律成立条件：,*系统根本不受外力或合外力为零。,*系统所受内力很大，外力可以忽略不计。,*系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向动量守恒（总动量不一定守恒）。,2,作业：交到2-T11,1.质点的角动量,定义：,角动量也叫,单位：,注意:,同一质点对不同定点的角动量是不同的。,动量矩。,(线)动量,第7节 角动量定理 角动量守恒定律,Angular Momentum Theorem&Principle of Conservation of Ang
2、ular Momentum,例如,质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：,3,2.质点的角动量定理,注意:,适用于惯性系，对非惯性系，需引入“惯性力”。,对 求时间的导数：,0,冲量矩,(微分形式),(积分形式),力矩：,4,3.质点的角动量守恒定律,若,则,角动量守恒定律,（2）,（1）是普遍规律,宏观、微观均适用。,（3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。,力心,质点对力心的角动量守恒。,（4）质点对某点的角动量守恒,对另一点不一定守恒.,（5）角动量守恒,不见得动量守恒.如:匀速圆周运动.,注意:,5,角动量守恒定律的分量式：,角动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：,当
3、总角动量不守恒时，角动量在某些方向上的分量可以是守恒的。,6,有心力，,7,脉冲星 周期性信号,盘状星系,宇宙中的孤立系统，,8,“行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积”,例1.用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：,解：设在时间 t 内，行星的矢径扫过扇形面积 s,恒矢量,面积速度：,恒量,命题得证。,9,例2.在光滑的水平桌面上有一小孔O,一细绳穿过 小孔,其一端系一小球放在桌面上,另一端用 手拉绳，开始时小球绕孔运动,速率为v1,半 径为r1,当半径变为r2时,求小球的速率v2.,解：小球受力,显然:,f拉,有心力,f 拉,10,o,例3.将一个质点沿一个半径为r的光滑
4、半球形碗的内面水平地投射,碗保持静止。设v0是质点恰好能达到碗口所需要的初速度。试求出v0作为0的函数的表达式.,mg,N,y,x,受力分析:,所以沿y轴方向的力矩 My=0,解：,故角动量在y方向上的分量Ly守恒:L0y=Ly,取球心o为参考点,并设开始时质点在板面内,且速度垂直向外。,垂直黑板向内,故垂直于y轴.,L0=rmv0 sin90=rmv0,L0y=L0sin0=rmv0 sin0=mv0r0,(Ly=L),则:,Ly=rmv,11,又，机械能守恒:,三式联立解得：,12,例4.地球可看作是半径 R=6400 km 的球体，一颗人造 地球卫星在地面上空 h=800km 的圆形轨道
5、上，以 v1=7.5 km/s 的速度绕地球运动。,突然点燃一火箭，其冲力使卫星附加一个向外的径向分速度 v2=0.2 km/s 使卫星的轨道变成椭圆形。,求：此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？,解：分析,故：卫星在火箭点燃前 或后对地心的角动量 始终不变，是守恒的。,？,？,卫星所受万有引力、火箭反冲力均通过力心，,1,13,根据角动量守恒定律：,卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有万有引力（保守内力）作用，机械能守恒：,对卫星原来的圆运动有：,远地点高度,近地点高度,联立解得：,r2,（r1）,14,例5.两人质量相等,忽略滑轮质量及轮绳之间摩擦。,一人握绳不动,一人用力上爬
6、,可能出现的情况是:,(1)两人同时到达；,(2)用力上爬者先到；,(3)握绳不动者先到；,(4)以上结果都不对。,同高从静态开始往上爬,系统受合外力矩为零，角动量守恒。,系统的初态角动量,系统的末态角动量,=,两人等速上升。,15,4.质点系的角动量定理和角动量守恒定律,质点系的角动量:,质点系中的各个质点对给定参考点的角动量的矢量和，称为质点系对该给定参考点的角动量。,=0,16,质点系中的各个质点相对于给定参考点的外力力矩的矢量和,称为质点系对该给定参考点的合外力矩。,o,质点系的角动量定理,17,质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间变化率,等于作用在该质点系上所有外力对同一参考点
7、的总力矩。质点系的角动量定理,因此,当质点系相对于某一给定参考点的合外力矩为零时,该质点系相对于该给定参考点的角动量不随时间变化。质点系的角动量守恒定律,18,动量,角动量,力,力矩,质点：,质点系：,19,1）功,变力的功：,恒力的功:,a,b,o,变力 将质点由 a点 移动到 b点,在线元 上力 对质点所作的元功为:,所作的总功:,？,一般力对质点所作的功，不仅与始、末位置有关，而且与路径有关。,第8节 功 功率,20,2）功率,力在单位时间内所作的功，称为功率。,平均功率,瞬时功率,21,例6、如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力 拉着质量为m的车沿半径为R的圆弧形路面极 缓慢地匀速
8、移动,车与路面的滑动摩擦系数为，求:车由底端A被拉上顶端B时,各力对车所做的功。,解:,车受4个力的作用拉力F、摩擦力f，沿切向路面支持力N 指向圆心O重力mg 竖直向下,在切向与法向有:,拉力的功:,22,重力的功,摩擦力的功,路面支持力N的功为零.,23,作业：交到-2T11,24,例7.在光滑的水平桌面上,固定着如图所示的半圆 形屏障,质量为m 的滑块以初速 v1 沿屏障一端 的切线方向进入屏障内,滑块与屏障间的摩擦 系数为。求：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功。,俯视图,解：建立自然坐标系,运动方程,法向,分析：,受力：,切向,变力作功,用动能定理必须先找出末态的v2！,fN,an,v,f,设滑块进入屏障后，速度为 V 时，已沿屏障转动了“”角，经过的时间为 t，则上式改为：,因合外力的功只有摩擦力的功 N 不作功，根据动能定理,
