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1、1,9.3 三重积分,一、概念二、计算,2,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的质量 M.,可得,“分割、求和、取极限”,解决方法:,密度函数为,3,一、三重积分的定义,4,5,1)坐标面投影法（先一后二法）,二、三重积分的计算（只限于叙述方法）,如图，,1、利用直角坐标系计算,直角坐标柱面坐标球面坐标,6,得,7,注意：,含z方程上下面，无z消z围D线。,寻找变量上下限的口诀：,8,其中 为三个坐标,例1.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,9,解：,10,11,解,12,将,用三次积分表示,其中由,所,提示
2、:,练习,六个平面,围成,13,2)坐标轴投影法（先二后一）（平面截割法）,14,注：用先二后一法计算三重积分的机会不多。一般只在 1、截面D较规范时使用，例如截面D是圆或椭圆时 2、当被积函数不含 x,y 只含 z 时。,15,解法1：坐标轴投影法,16,解法2：坐标面投影法（向yoz面投影）,解法3：坐标面投影法 向xoy面（相对麻烦）,17,解：,18,原式,19,19,提示,已知椭球V:,内点(x,y,z)处质量,的体密度为:,求椭球的质量.,20,20,解,因为,而,其中,先二后一法(截面法),21,21,由对等性知,因此,所以,22,例6.计算三重积分,其中 是曲线,23,解,如图,24,25,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,小结,定限口诀：含z方程上下面，无z消z围D线。,含x方程前后面，无x消x围D线。,含y方程右左面，无y消y围D线。,
