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1、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,5.积分恒等式的证明解法思路:（1）变量代换公式和分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式，亦可用来推出其它积分等式；（2）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题。（3）用中值定理,18,19,20,6.积分不等式的证明与积分等式的证明对应，解法思路:（1）通过定积分估值性质比较大小；（2）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题函数的单调性；（3）利用重要不等式，如柯西不等式：,21,22,23,7.积分中值问题解法思路:通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。,24,25,定积分的应用,
2、1.定积分的应用,几何方面:,面积、,体积、,弧长、,表面积.,物理方面:,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2.基本方法:,微元分析法,微元形状:,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,转动惯量.,26,例1.设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1)求函数,(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解:(1),由方程得,面积为 2,体积最小?,即,故得,27,又,(2)旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值.,28,例2.（0702）设D是位于曲线,下方、x轴上方的无界区域。求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的 体积V(a);(II)当a为何
3、值时，V(a)最小?并求此最小值.,29,30,解：(I),=,=,(II),得,即 a=e,（唯一的驻点）,31,故所求旋转体体积为,例3.求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解:曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,32,例4.半径为 R,密度为,的球沉入深为H(H 2 R),的水池底,水的密度,多少功?,解:,建立坐标系如图.,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出,需做,微元体积,所受重力,上升高度,33,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,34,例5.设有半径为 R 的半球形容器如图.,(1)以每秒 a 升的速度向空容器中注水,求水深为,为h(0 h R)时水面上升的速度.,(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最,少应为多少?,解:过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,设经过 t 秒容器内水深为h,35,(1)求,由题设,经过 t 秒后容器内的水量为,而高为 h 的球缺的体积为,半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成,体积元素:,故有,两边对 t 求导,得,at(升),36,(2)将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,微元体积:,微元的重力:,薄层所需的功元素,故所求功为,到池沿高度所需的功.,37,解,在端面建立坐标系如图,38,
