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1、,3.4 定积分的进一步应用,3.4.1 平面图形的面积 3.4.2 立体的体积 3.4.3 平面曲线的弧长 3.4.4 变力沿直线所作的功 3.4.5 压力 3.4.6 引力 3.4.7 函数的平均值,3.4.1 平面图形的面积,一、不规则图形的面积 二、进一步练习,一般地，求由区间a,b上的连续曲线y=f(x)、y=g(x),以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积，,如图所示，用微元法分析如下,(1)任意一个小区间,窄条为面积dS可以用底宽为dx，,面积来近似计算，即面积微元为,上积分，得该平面图形的面积,练习1 窗户面积,某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，下方为直线，如图
2、所示，求此弓形的面积,建立直角坐标系如图所示,解,所以,即抛物线方程为,所围成图形的面积，面积微元为,面积为,(m),所以窗户的面积为0.683m2,练习2 游泳池的表面面积,一个工程师正用CAD（computer-assisted desigen计算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是,的图形，如图所示，求此游泳池的表面面积,解,解联立方程组,得两条曲线的左交点(0,0)，右交点的横坐标,此游泳池的表面面积为,=77.26（m）,大于8于是，面积微元为,3.4.2 立体的体积,一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积 三、进一步练习,设一立体位于平面 x=a、x=b（ab)如
3、图所示.任意一个垂直于x轴的平面截此物体所得的截面面积为,A(x),A(x)是a,b上的连续函数该立体介于区间,之间的薄片的体积微元dV.,可用底面积 A(x)、高为 dx,的柱形薄片的体积近似计算，,从而体积微元为,将其在区间a,b上积分，得到该立体的体积,(1)平面图形绕x轴旋转所成的立体的体积,由连续曲线y=f(x)、直线 x=a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体，如图所示,它被任意一个垂直于x轴的平面所截，得到的截面为,以f(x)为半径的圆，其面积为,故所求旋转体的体积为,(2)绕y轴旋转所成的立体的体积,y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体
4、的体积为,练习1 喇叭体积,的图形绕x轴旋转所成的旋转体，如图所示,求此旋转体的体积,解,在0,1上任取一点x，此旋转体的体积微元可近似,地视为以f(x)为半径的圆为底（即以面积为,的圆为底）的柱体，从而体积微元为,所求旋转体的体积V为,练习2 机器底座的体积,某人正在用计算机设计一台机器的底座，它在第一,底座由此图形绕y轴旋转一周而成，如图所示,试求此底座的体积,解,以及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的,所求体积为,旋转体体积微元为,3.4.3 平面曲线的弧长,一、弧长的计算 二、进一步练习,曲线y=f(x)相应于 a,b上的任一微小区间,的长度ds来近似代替，,所以弧长微元(即弧微分
5、)为,所求弧长为,曲线在点（x,f(x)）处的切线上相应的一小段,练习1运动路程,（t的单位：s；s的单位：m）求它从时刻t=0s到,解,已知一物体的运动规律为,时刻t=1s所移动的距离,物体的运动规律由参数方程给出，随着时间t的变化，物体运动的轨迹是一条曲线此问题事实上是求该曲线从t=0s到t=1s的一段弧长,由参数方程下弧长的计算公式，得,练习2 悬链线长度,悬链线，它表示的是一悬挂在空中的线缆的形状，,求此悬链线位于x=-1和x=1之间的长度,由式弧长的计算公式，得,解,利用对称性，得,3.4.4 变力沿直线所做的功,一、功的计算 二、进一步练习,由物理学知道，物体受常力F作用沿力的方向
6、移动,如果作直线运动的物体在运动过程中所受的力是变化,一段距离S，则力F对物体所作的功为,的，设物体所受的力与移动的位移x之间满足y=F(x)，,求此力将物体从x=a移到x=b所作的功,所以，总功为,练习1 克服阻力所作的功,解,克服阻力所作的功.,与速度的平方成正比，计算物体由 x=0 到 x=a 时，,由于媒质的阻力与速度的平方成正比，设比例系数,为k，于是媒质的阻力为,当物体从 x=0 移动到 x=a 时，时间t从 t=0到,克服阻力所作的功为,3.4.5 压力,一、压力的计算 二、进一步练习,由物理学知道，在液体深为h处的压强为p=r h，这里r是液体的比重如果有一面积为A的平板水平地
7、放置在某液体深为h处，平板一侧所受的液体的压力为,如果平板铅直放置在水中，如,图所示，此时应如何计算平板,一侧所受的水的压力呢？,练习1 水闸门所受的压力,一矩形水闸门，宽20m，高16m，水面与闸门顶齐，,解,求闸门上所受的总压力,如图选取x轴，,闸门上所受的总压力为,(N),3.4.6 引力,一、引力的计算 二、进一步练习,由物理学知道，质量分别为m1、m2，相距为r的两,质点间的引力为,其中k为引力系数，引力的方向沿着质点的连线方向,练习1棒对质点的引力,设有一长度为l，质量为M的均匀细直棒，另有一质量为m的质点与细直棒在同一直线上，它到细直棒的近端距离为a试计算该棒对质点的引力,建立直
8、角坐标系如图所示,解,使棒位于x轴上，取x为积分变量，它的变化区间为0,l,，于是引力微元为,该棒对质点的引力为,3.4.7 函数的平均值,一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习,设C(t)(单位：度/天)为某城市第t天的耗电量，t=0,365天的总耗电量.而,=前365的日平均耗电量,=前365天的总耗电量/总天数,函数的平均值,数,表示连续曲线y=f(x)在区间a,b上的平均高度，,也就是函数y=f(x)在区间a,b,上的平均值，如图所示,练习1 平均销售量,一家快餐连锁店在广告后第t天的销售的快餐数量,解,求该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量,为,该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量,由下式给出：,练习3 交流电的有效值,电源的引线端的电压u由关于时间t（单位：s）的,表示最大电压的常数其在1s内电压的平均值是,不用平均电压，他们运用均方根电压，其定义为,，但工程师们,解,注：在电常中定义交流电流i(t)和电压u(t)的有效值为,(T为周期),
