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5 实数的完备性,Cauchy收敛定理,:,.,极限定义回顾,一、柯西基本列,定义5.1,或叙述为,:,或者用符号表述为,例1.,证明：,例2.,证明：,所以不是基本列,二、列紧性定理,定理5.1,任意有界数列中必可造出收敛子列.,证明：,（二分法：）,由闭区间套定理和夹逼定理：,三、柯西收敛准则,定理2：,证明：,.,由例1：,由例2：,注：Cauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法,例4：若数列满足下面情况，判断是否收敛,解：,(1)不一定，例如例2中,(2)结论成立，证明如下,例5.,证法1：,证法2：,不单调,存在,固有,Cauchy收敛定理表明,由实数构成的基本列必存在 实数极限,这一性质我们称之为实数系统的完备性.有理数集合不具备这一性质,例如有理数列,其极限为无理数,.,实数系完备性的进一步解释,思考题：用闭区间套定理证明柯西收敛定理,.,四、小结,列紧性定理,柯西基本定理,柯西基本列,柯西（Cauchy，A.L.,1789-1857），法国数学家，在数学领域，有很高的建树和造诣包括：无穷级数的收敛性和发散性，实变和复变函数论，微分方程、行列式、概率和数学物理方程的研究.柯西是数学分析严密化的创始人之一.,
