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1、随机过程与排队论,计算机科学与工程学院顾小丰Email：2023年9月25日星期一,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,392,上一讲内容回顾,随机变量及其分布程随机变量、分布函数离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度常见的随机变量及其分布n维随机变量随机变量函数的分布,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,393,本讲主要内容,随机变量的数字特征数学期望方差k阶矩协方差条件数学期望随机变量的特征函数,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,394,1.3 随机变量的数字特征,一、数学期望,若离散型R.V.X的分布律为pkPX=Xk，k=1,2,，当时

2、，称,为R.V.X的数学期望(均值),若连续型R.V.X的概率密度函数为f(x),x(-,+)，当时，称,为R.V.X的数学期望(均值),2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,395,定理,设Yg(X)，g(x)是连续函数,若X是离散型R.V.，分布律为pkPX=Xk，k=1,2,，当时，则有,若X是连续型R.V.，概率密度函数为f(x)，x(-,+)，当时，则有,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,396,定理,设Zg(X,Y)，g(x,y)是连续函数,当(X,Y)是离散型R.V.,联合分布律为pij=PX=Xi,Y=Yj，i,j=1,2,，若则有,若(X,Y)是

3、连续型R.V.，概率密度函数为f(x,y)，x（-,+)，当时，则有,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,397,二、方差,设X是随机变量，若EX-E(X)2存在，称D(X)EX-E(X)2为R.V.X的方差(或记为Var(X)，称为R.V.X的均方差或标准差。,事实上有：D(X)EX-E(X)2E(X22XE(X)E2(X)E(X2)-E2(X),2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,398,常见随机变量的数学期望和方差,分布：E(X)p，D(X)pq；二项分布XB(n,p)：E(X)np，D(X)npq；泊松分布X()：E(X)D(X)；均匀分布XU(a,b)：E(

4、X)(a+b)/2，D(X)(b-a)2/12；(负)指数分布：E(X)1/，D(X)1/2；正态分布XN(,2)：E(X)，D(X)2；-分布X(,)：E(X)/，D(X)/2；2-分布X2(n)：E(X)n，D(X)2n；爱尔朗分布XEk：E(X)k/，D(X)k/2。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,399,例,泊松分布X()：,泰勒展开式：,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3910,例,(负)指数分布：E(X)1/，D(X)1/2；,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3911,三、k阶矩,设R.V.X有E(|X|k)+，E|X-E(X)|k

5、+，则称kE(Xk)为X的k阶原点矩；称kE(|X|k)为X的k阶绝对矩；称kEX-E(X)k为X的k阶中心矩；称kE|X-E(X)|k为X的k阶绝对中心矩。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3912,四、协方差,若EX-E(X)Y-E(Y)，称cov(X,Y)EX-E(X)Y-E(Y)E(XY)-E(X)E(Y)为随机变量X和Y的协方差，称,为随机变量X和Y的相关系数，称XY0为随机变量X和Y不相关。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3913,协方差矩阵,设n维R.V.(X1,X2,Xn)，若cijcov(Xi,Xj)EXi-E(Xi)Xj-E(Xj)i,j1

6、,2,n存在，则称,为n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3914,协方差矩阵,协方差矩阵中元素满足：,ciiD(Xi)，i=1,2,n；cijcji，i,j=1,2,n。,故协方差矩阵是对称矩阵。,特别地，二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为：,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3915,五、随机变量数字特征的性质,E(aX+b)aE(X)+b，D(aX+b)a2D(X)，a,b为任意常数；,对任意常数ak，k=1,2,n，有,|XY|1许瓦兹不等式成立：,协方差的性质：(1)cov(X,Y)cov(Y,X)(2)co

7、v(X1+X2,Y)cov(X1,Y)+cov(X2,Y)(3)cov(aX+bY,cX+dY)=acD(X)+bdD(Y)+(ad+bc)cov(X,Y),2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3916,随机变量数字特征的性质,方差的计算公式D(X)E(X2)-E2(X)0特别地，当D(X)0的充分必要条件是PX=E(X)1。,Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)特别地，Cov(X,X)D(X),2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3917,例,设二维R.V.(X,Y)的联合概率密度为,求：(1).cov(X,Y)，XY和C；(2).讨论X与Y的独立性。,解：(1

8、).,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3918,例（续）,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3919,例（续）,由于f(x,y)fX(x)fY(y)，故X与Y不独立。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3920,1.4 条件数学期望,设(X,Y)为离散型二维随机变量，其联合分布律为pij，i,j=1,2,，若,则称,为已知Y=yj的条件下，R.V.X的条件数学期望，称,为已知X=xi的条件下，R.V.Y的条件数学期望。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3921,条件数学期望,设(X,Y)为连续型二维随机变量，其联合概率密度为f(x,y

11、顾客人数，Xi表示第i个顾客所花的钱数，则N个顾客所花钱的总数为，现在要求EY。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3926,例(续),由全期望公式：E(Y)EE(Y|N)而,因为Xi与N相互独立，且E(Xi)E(X)，从而E(Y|N)NE(X)E(Y)E(NE(X)E(N)E(X)由假设，E(N)100，E(X)50，故E(Y)5000。由此得，顾客们花费在该商店的钱的数学期望值为5000元。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3927,1.4 特征函数,随机变量X的特征函数定义为X(u)=E(eiuX)，i,当R.V.X为离散型随机变量时，,当R.V.X为连续型

12、随机变量时，,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3928,例1 二项分布 XB(n,p),特征函数：,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3929,例2 泊松分布 X(),特征函数：,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3930,例3(负)指数分布,特征函数：,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3931,例4 k阶爱尔朗分布 XEk,特征函数：,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3932,特征函数的性质,X(0)1；X(u)X(0)；X(u)X(-u)；,如果R.V.X的k阶原点矩存在，则X的特征函数X(u)有n阶导数，且E(X

13、k)(-i)kX(k)(0),设YaX+b，则Y(u)eiubX(au)；X(u)在(-,+)上一致连续；X(u)是非负定函数，即对任意的ui,zi，i=1,2,n，有,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3933,特征函数的性质,(逆转公式或反演公式)设随机变量X的分布函数为F(x)，x1,x2是F(x)任意连续点，有,(唯一性定理)随机变量X的分布函数F(x)与特征函数X(u)是一一对应且相互唯一确定的。其相互关系如下：,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3934,二维随机变量的特征函数,二维随机变量(X,Y)的特征函数定义为(u,v)=Eei(uX+vY)。,当

14、R.V.(X,Y)为离散型随机变量时，,当R.V.(X,Y)为连续型随机变量时，,定理7：若R.V.X与Y相互独立，则X+Y(u)X(u)Y(u)。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3935,例,设X1,X2,Xn,是相互独立、服从参数为的负指数分布,则YkX1X2Xk,k1,2,服从参数为的k阶爱尔朗分布。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3936,证明：,因为 Xi（i=1,2,）的特征函数为：,由于X1,X2,Xn,是相互独立，故YkX1X2Xk的特征函数为：,这正好是参数为的k阶爱尔朗分布的特征函数，故Yk服从参数为的k阶爱尔朗分布。,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3937,本讲主要内容,随机变量的数字特征数学期望方差k阶矩协方差条件数学期望随机变量的特征函数,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3938,下一讲内容预告,随机过程的基本概念随机过程的定义随机过程的分布随机过程的数字特征几种重要的随机过程独立过程独立增量过程,2023/9/25,计算机科学与工程学院顾小丰,3939,习题一,15.16.25.,P4851,

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