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1、3.2 对称共焦腔内外的光场分布,回顾 讨论自再现模积分方程解的物理意义,建立了 激光模式的概念.,前瞻 求解对称开腔中的自再现模积分方程,求出本征值和本征函数，了解输出激光的具体场的分布，从而决定开腔自再现模的全部特征。,求解本征积分方程可得,镜面上场的振幅分布；镜面上场的位相分布；模的衰减；模的相移；模的谐振频率。,3.2.1 共焦腔镜面上的场分布,一.方形镜面对称共焦腔,设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为，并把x，y坐标的原点选在镜面中心,而以(x，y)来表示镜面上的任意点,以方型镜面的对称共焦腔为例,求解(3-7)式方程,1、本征函数的近似解：,二.近轴情况下自再现模积分
2、方程的解析解,Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式,高斯型函数,常系数,镜面上的场分布是厄米多项式与高斯函数函数的乘积厄米多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓,（3-18）,2、本征值的近似解：,（3-19）,几个低阶厄米多项式的值,本征函数描述共焦腔镜面上场的振幅和相位分布。,三.镜面上自再现模场的特征,1.厄米高斯近似共焦腔方型镜上场的振幅（强度）分布,（3-18）,基模:取（3-18）式中 m=n=0，得到共焦腔方型镜上基模 TEM00 场的分布,因为,所以,可见，基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜 中心（x=y=0）向边缘平滑地降落。在离中心的距离为 处
3、场的振幅降落为中心处的1/e。,基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内.上式表明，共焦腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有关。这是共焦腔的主要特征。,数值例：L=1m,=10.6m,共焦腔的CO2激光器 0s1.84mm L=30cm,=0.6328m,共焦腔的HeNe激光器 0s0.25mm 可见，共焦腔的光斑半径非常小。,由 可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑 尺寸并无影响.,镜面上场的振幅和强度分布高阶横模,利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：,当m、n取不同时为零的一系列整数时,由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分布,因为 故,因为 故,因为 故,TEM20
4、,因为 故,因为 故,TEM11,因为 故,可以看出，TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线，厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单调下降的特征决定着场分布的外形轮廓。,高阶模的光斑尺寸与基模的关系,可见,阶次越高,光斑半径越大,光强分布越偏离中心.,图(3-5)的变化曲线及相应的光强分布,2.镜面上场位相分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。,由于 为实函数,说明镜面上各点的光场相位相同,共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面,由自在现模umn(x,y)的辐角决定。,注意：不同于平行平面腔！平行平面腔镜面
5、上不同相。,3.单程相移与谐振频率：,而当q一定时，若m、n改变，则横模的频率也将发生变化,由以上两式可得共焦腔的振荡频率图,图(3-6)方形镜共焦腔的振荡频谱,从上式可以看见，共焦腔在频率上是高度简并的，（2q+m+n）相同的所有模式都具有相同的谐振频率。如：TEMmnq，TEMm-1，n+1，qTEMm，n-2，q+1，TEMm-2，n，q+1，TEMm+1，n-3，q+1等都有相同的频率。这种现象会对激光器的工作状态产生不良影响.因为所有频率相等的模式都处在激活介质的增益曲线的相同位置处,从而彼此间产生强烈的竞争作用,导致多模振荡,使输出激光光束质量变坏.,普通激光器的输出都是多模的,激
6、光多横模振荡示意图,3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布,一、方形镜对称共焦腔的行波场 厄米-高斯光束,1、推导方法,菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式,腔内、外任一点的场,镜面上的场,2、腔中的场分布由镜面M1上的场分布在腔内造 成的行波求得,定义,得腔中场分布,图3-7 计算腔内外光场分布的示意图,上式表示TEMmn模在腔内任意点(x,y,z)处的电场强度。其中,实部代表振幅,虚部代表相位,描述了波阵面上的相位分布，称为相位因子,（1）Hm，Hn m 阶、n阶厄米多项式,确定了场在x、y方向的大小及节线数目 Hm:有m个零点,x方向有m条节线;Hn:有n个零点,y方向有n条节线.,(2)高斯函数,随 增大而变小,确定了场的收敛性(集中于z轴附近).,考虑到镜的适当透过率后，umn(x,y,z)也适用于腔外的场。,3、腔外的场分布,
