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1、导数综合复习课,1.导数的定义:,设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变y=f(x0+x)-f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,2.几种常见函数的导数,公式1:.,公式2:.,公式3:.,公式4:.,公式5:.,公式6:.,公式7:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导 数的和(差),即:,3.导数的运算法则,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数 的导数,即,法则3:两个函数的商的导数,等于分子的
2、导数与分母 的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母 的平方,即:,设函数 在点x处有导数,函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数,则复合函数在点x处也有导数,且 或记,4.复合函数的导数,例1:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,解:,例2 求下列函数的导数:,解:,5导数应用的知识网络结构图：,6基本思想与基本方法：,数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调 性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探 讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数
3、的极 值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践 的辩证关系，具有较大的实践意义。,求有导数的函数y=f(x)的单调区间的步骤：i）求f(x)；ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）；iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。,证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性：i）求f(x)；ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）；iii）确认f(x)在(a，b)内的符号；iv）作出判断。,求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：i）求导数f(x)；ii）求方程f(x)=0的全部实根；iii）检查f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个 根处
4、取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。,设y=f（x）在a，b上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在a，b上的最大值和最小值的步骤：i）求f（x）在（a，b）内的极值；ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确 定f（x）的最大值与最小值。,在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定 最值，不必再与端点的函数值作比较。,例3 求函数 的单调区间.,解:,时,y是减函数.,例4 求函数 的极值.,解:,例5 求函数 的最大值和最小值.,解:,解:设B(x,0)(0 x2),则 A(x,4x-x2).,从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).,令,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,例7:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,设,由x,y为正实数得:,设,令,得 又,又f(0)=f()=0,故当 时,
