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1、,二、全微分在数值计算中的应用,应用,一元函数 y=f(x)的微分,近似计算,估计误差,本节内容:,一、全微分的定义,全微分,一、全微分的定义,定义:如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,记作,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,由微分定义:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定
2、理1(必要条件),若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数,同样可证,证:由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,反例:函数,易知,但,因此,函数在点(0,0)不可微.,注意:定理1 的逆定理不成立.,偏导数存在函数 不一定可微!,即:,定理2(充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,注意到,故有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为,于是,例1.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例2.计算函数,的全微分.,解:,可知当,二、全
3、微分在数值计算中的应用,1.近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于近似计算;误差分析),(可用于近似计算),例3.计算,的近似值.,解:设,则,取,则,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,3.微分应用,近似计算,思考与练习,函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,1.选择题,2.设,解:,利用轮换对称性,可得,注意:x,y,z 具有 轮换对称性,在点(0,0)可微.,在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1),因,故函数在点(0,0)连续;,但偏导数在点(0,0)不连,3.证明函数,所以,同理,极限不存在,在点(0,0)不连续;,同理,在点(0,0)也不连续.,2),3),4)下面证明,可微:,说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,
